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Hola

Para r < 1 tenemos el límite de la suma geométrica

∑ [n_0_a_∞](r^n) = 1/(1 - r)

De otra manera

Para D > 1 tenemos el límite de la suma geométrica

∑ [n_0_a_∞](1/(D^n)) = 1/(1 - (1/D)) = D/(D - 1)

Entonces

∑ [n_0_a_∞]( (1/(9^n)) + (1/(10^n)) )

= ∑ [n_0_a_∞](1/(9^n)) + ∑ [n_0_a_∞](1/(10^n))

∑ [n_0_a_∞]( (1/(9^n)) + (1/(10^n)) )

= (9/(9-1)) + (10/(10-1))

∑ [n_0_a_∞]( (1/(9^n)) + (1/(10^n)) )

= (9/8) + (10/9)

∑ [n_0_a_∞]( (1/(9^n)) + (1/(10^n)) )

= (9*9/8*9) + (10*8/9*8)

∑ [n_0_a_∞]( (1/(9^n)) + (1/(10^n)) )

= (81/72) + (80/72)

∑ [n_0_a_∞]( (1/(9^n)) + (1/(10^n)) )

= 161/72

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En caso de comenzar la serie desde 1

hay que restar 1 + 1 = 2 a esta suma.

Saludos