Tengo resuelto el ejercicio, pero debo resolverlo de forma "formal" utilizando la inducción matemática. Ayuda!
Hola
Condiciones iniciales
4 a2 + ao = 0 -> a2 = -(1/4) ao
2(n + 2) (n + 1) a(n+2) + (n + 1) a(n) = 0
para n >= 1
Es raro, se puede simplificar (n + 1)
2 (n + 2) a(n+2) = a(n)
a(n+2) = (-1)(1/(2*(n+2))) a(n)
==========================
n = 0
a(2) = (-1) (1/4) ao
n = 2
a(4) = (-1) (1/8) a(2) = [(-1)^2 (1/4^2) / (1/2!) ] ao
n = 4
a(6) = (-1) (1/12) a(4) = [(-1)^3 (1/4^3) / (1/3!) ] ao
n = 6
a(8) = (-1) (1/16) a(6) = [(-1)^4 (1/4^4) / (1/4!) ] ao
Así, de esta forma, es fácil probar la inducción
para pares
Suponemos
n = 2 k
a(2k) = [(-1)^k (1/4^k) / (1/k!) ] ao
a(2k+2) = (-1)(1/(2*(2k+2))) a(2k)
a(2k+2) = (-1)(1/(4*(k+1))) a(2k)
por hipótesis
a(2k+2) = (-1)(1/(4*(k+1))) [(-1)^k (1/4^k) / (1/k!) ] ao
asociamos
a(2k+2) = [(-1)^(k+1) (1/4^(k+1)) / (1/(k+1)!) ] ao
Entonces, la fórmula para a(2k)
es válida cuando se remplaza k por k+1
con lo que se prueba la inducción
===============================
Para impares
a(3) = (-1) (1/(2*3)) a1
a(5) = (-1) (1/(2*5)) a(3) = [(-1)^2 (1/2^2) / (1/(3*5) ] a1
a(7) = (-1) (1/(2*7)) a(5) = [(-1)^3 (1/2^3) / (1/(3*5*7) ] a1
...
a(2k+1) = [(-1)^k (1/2^k) / (1/(3*5*7*...(2k+1)) ] a1
De acuerdo a
a(2k+3) = (-1)(1/(2*(2k+3))) a(2k+1)
Por hipótesis
a(2k+3) = (-1)(1/(2*(2k+3))) [(-1)^k (1/2^k) / (1/(3*5*7*...(2k+1)) ] a1
a(2k+3) = [(-1)^(k+1) (1/2^(k+1)) / (1/(3*5*7*...(2k+1)(2k+3)) ] a1
Entonces, la fórmula para a(2k+1)
Saludos
Lo siento, pero en mi pantalla no veo nada, prueba de escanear la hoja o hacer una fotografía mejor.
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Hola
Condiciones iniciales
4 a2 + ao = 0 -> a2 = -(1/4) ao
2(n + 2) (n + 1) a(n+2) + (n + 1) a(n) = 0
para n >= 1
Es raro, se puede simplificar (n + 1)
2 (n + 2) a(n+2) = a(n)
a(n+2) = (-1)(1/(2*(n+2))) a(n)
==========================
n = 0
a(2) = (-1) (1/4) ao
n = 2
a(4) = (-1) (1/8) a(2) = [(-1)^2 (1/4^2) / (1/2!) ] ao
n = 4
a(6) = (-1) (1/12) a(4) = [(-1)^3 (1/4^3) / (1/3!) ] ao
n = 6
a(8) = (-1) (1/16) a(6) = [(-1)^4 (1/4^4) / (1/4!) ] ao
Así, de esta forma, es fácil probar la inducción
para pares
Suponemos
n = 2 k
a(2k) = [(-1)^k (1/4^k) / (1/k!) ] ao
a(n+2) = (-1)(1/(2*(n+2))) a(n)
a(2k+2) = (-1)(1/(2*(2k+2))) a(2k)
a(2k+2) = (-1)(1/(4*(k+1))) a(2k)
por hipótesis
a(2k+2) = (-1)(1/(4*(k+1))) [(-1)^k (1/4^k) / (1/k!) ] ao
asociamos
a(2k+2) = [(-1)^(k+1) (1/4^(k+1)) / (1/(k+1)!) ] ao
Entonces, la fórmula para a(2k)
es válida cuando se remplaza k por k+1
con lo que se prueba la inducción
===============================
Para impares
a(n+2) = (-1)(1/(2*(n+2))) a(n)
a(3) = (-1) (1/(2*3)) a1
a(5) = (-1) (1/(2*5)) a(3) = [(-1)^2 (1/2^2) / (1/(3*5) ] a1
a(7) = (-1) (1/(2*7)) a(5) = [(-1)^3 (1/2^3) / (1/(3*5*7) ] a1
...
Suponemos
a(2k+1) = [(-1)^k (1/2^k) / (1/(3*5*7*...(2k+1)) ] a1
De acuerdo a
a(n+2) = (-1)(1/(2*(n+2))) a(n)
a(2k+3) = (-1)(1/(2*(2k+3))) a(2k+1)
Por hipótesis
a(2k+3) = (-1)(1/(2*(2k+3))) [(-1)^k (1/2^k) / (1/(3*5*7*...(2k+1)) ] a1
a(2k+3) = [(-1)^(k+1) (1/2^(k+1)) / (1/(3*5*7*...(2k+1)(2k+3)) ] a1
Entonces, la fórmula para a(2k+1)
es válida cuando se remplaza k por k+1
con lo que se prueba la inducción
===============================
Saludos
Lo siento, pero en mi pantalla no veo nada, prueba de escanear la hoja o hacer una fotografía mejor.