¿Sistemas generadores de espacios vectoriales?
Dado un espacio, y un conjunto, como verifico que si el conjunto genera o no, el espacio. Por aca dejo un ejemplo:
Si tengo un espacio
E:{5+7x-10x², 3+2x-3x²}, y E es subespacio de P²(x).
Y tengo un subconjunto de P²(x) llamado B:{7+x-2x², 19-2x+x², 14+2x-4x²}
Como averiguo si B genera a E?
Update:P²(x) es el espacio generador de todos los polinomios de grado 2 o inferior
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Hola
La escritura es un poco confusa
Tienes una BASE
{5+7x-10x², 3+2x-3x²}
que genera un SUBESPACIO E
(de dimensión 2, por ser 2 vectores L.I)
Además tienes el conjunto
B:{7+x-2x², 19-2x+x², 14+2x-4x²}
Si B genera a E, B debería tener solo dos vectores L.I.
Por inspección, vemos que el tercer vector
es múltiplo del primero
14+2x-4x² = 2 (7+x-2x²)
Entonces, tenemos sólo 2 vectores L.I en B
Para demostrar que B genera a E,
deberíamos poder representar los vectores de la base de E
por medio de los 2 vectores L.I. de B
Primer vector de la base E
Deben existir c1 , c2 tales que
5+7x-10x² = c1 (7+x-2x²) + c2 (19-2x+x²)
5+7x-10x² = (7 c1 + 19 c2) + (c1 - 2 c2) x + (-2 c1 + c2)x²
tenemos el sistema redundante
1) 7 c1 + 19 c2 = 5
2) c1 - 2 c2 = 7
3) -2 c1 + c2 = -10
De 2) 3)
2) c1 - 2 c2 = 7
3') -4 c1 + 2 c2 = -20
-3 c1 = -13
c1 = 13/3
De 2) 3)
2') 2 c1 - 4 c2 = 14
3) -2 c1 + c2 = -10
- 3 c2 = 4
c2 = -4/3
verificamos en 1)
7 (13/3) + 19(-4/3) = (91 - 76)/3 = 15/3 = 5
Efectivamente, existen c1 ; c2 tales que
5+7x-10x² = c1 (7+x-2x²) + c2 (19-2x+x²)
c1 = 13/3 ; c2 = -4/3
*****************************
Segundo vector de la base E
Deben existir c3 , c4 tales que
3+2x-3x² = c3 (7+x-2x²) + c4 (19-2x+x²)
3+2x-3x² = (7 c3 + 19 c4) + (c3 - 2 c4) x + (-2 c3 + c4)x²
tenemos el sistema redundante
1) 7 c3 + 19 c4 = 3
2) c3 - 2 c4 = 2
3) -2 c3 + c4 = -3
De 2) 3)
2) c3 - 2 c4 = 2
3') -4 c3 + 2 c4 = -6
-3 c3 = -4
c3 = 4/3
De 2) 3)
2') 2 c3 - 4 c4 = 4
3) -2 c3 + c4 = -3
- 3 c4 = 1
c4 = -1/3
verificamos en 1)
7 (4/3) + 19(-1/3) = (28 - 19)/3 = 9/3 = 3
Efectivamente, existen c3 ; c4 tales que
3+2x-3x² = c3 (7+x-2x²) + c4 (19-2x+x²)
c3 = 4/3 ; c4 = -1/3
*****************************
Ahora supongamos cualquier vector v1 de E
Como
{5+7x-10x², 3+2x-3x²}
es base de E
v1 = x1 (5+7x-10x²) + x2 (3+2x-3x²)
deducimos
v1 = x1 (c1 (7+x-2x²) + c2 (19-2x+x²)) +
+ x2 (c3 (7+x-2x²) + c4 (19-2x+x²))
v1 = (c1 x1 + c3 x2) (7+x-2x²) +
+ (c2 x1 + c4 x2) (19-2x+x²)
Efectivamente, v1, un vector cualquiera de E
se puede expresar
por medio de los 2 vectores L.I. de B
así que B genera el subespacio E
Notemos que B NO es base,
ya que NO es un conjunto L.I.
pero genera E.
Saludos