Según mi punto de vista ... el ejercicio se desarrolla de la siguiente manera

Hola

Primero

(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2 a b

1) a b = (1/2) (a + b)^2 - (1/2) (a^2 + b^2))

Por otro lado

(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2

(a + b)^3 = (a^3 + b^3) + 3 a b (a + b)

deducimos

a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3 a b (a + b)

De 1)

a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3 ((1/2) (a + b)^2 - (1/2) (a^2 + b^2))) (a + b)

a^3 + b^3 = (a + b)^3 - (3/2) (a + b)^3 + (3/2) (a + b) (a^2 + b^2)

a^3 + b^3 = (3/2) (a + b) (a^2 + b^2) - (1/2) (a + b)^3

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Con los valores dados

a^3 + b^3 = (3/2) (1) (2) - (1/2) (1)^3

a^3 + b^3 = 3 - (1/2)

a^3 + b^3 = 5/2

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Verificamos

a b = ( (a + b)^2 - (a^2+b^2) )/2 = ( 1^2 - 2)/2 = -1/2

Como

a + b = 1

a y b son soluciones de

x^2 - x - (1/2) = 0

x^2 - x = (1/2)

x^2 - 2 (1/2) x + (1/4) = (1/2) + (1/4)

(x - (1/2))^2 = 3/4

a;b = (1 +/- √3)/2

a^2 = (1 - 2 √3 + 3)/4

b^2 = (1 + 2 √3 + 3)/4

a^2 + b^2 = 2

a^3 = (1 - 3 (√3) + 3 (√3)^2 - (√3)^2)/8

b^3 = (1 + 3 (√3) + 3 (√3)^2 + (√3)^2)/8

a^3 + b^3 = 2*(1 + 9) /8

a^3 + b^3 = 5/2

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Saludos

a vale 1.87

b vale -0.13

por tanto a3+b3= 6.563-0.002=6.559

enjoy mate5