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Vamos lá.

Veja, Jones, que é simples.

Vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se sen(x) = 2/3 e "x' é um arco do 1º quadrante, determine:

a) cos(x) ----- veja: se sen(x) é do 1º quadrante, então todas as funções trigonométricas são positivas.

Bem, dito, isso, vamos encontrar cos(x) pela primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ----- substituindo sen(x) por "2/3", temos:

(2/3)² + cos²(x) = 1

4/9 + cos²(x) = 1

cos²(x) = 1 - 4/9 ------ mmc, no 2º membro = 9. Assim, utilizando-o, temos:

cos²(x) = (9*1 - 1*4)/9

cos²(x) = (9-4)/9

cos²(x) = 5/9

cos(x) = ±√(5/9) ----- veja que isto é a mesma coisa que:

cos(x) = ±√(5)/√(9) ----- como √(9) = 3, teremos:

cos(x) = ±√(5) / 3 ----- como, no 1º quadrante, todas as funções trigonométricas são positivas, então tomamos apenas a raiz positiva e igual a:

cos(x) = √(5) / 3 <--- Esta é a resposta para o item "a" da 1ª questão.

b) tg(x) ----- veja que tg(x) = sen(x)/cos(x) . Então teremos;

tg(x) = (2/3) / [√(5) / 3] ----- veja: temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Logo:

tg(x) = (2/3)*(3/√(5)]

tg(x) = 2*3/3*√(5) ---- dividindo-se "3" do numerador com "3" do denominador, teremos:

tg(x) = 2/√(5) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(5). Assim:

tg(x) = 2*√(5) / √(5)*√(5)

tg(x) = 2√(5) / √(5*5)

tg(x) = 2√(5) / √(25) ---- como √(25) = 5, ficamos com:

tg(x) = 2√(5) / 5 <--- Esta é a resposta para o item "b" da 1ª questão.

c) sec(x) ----- veja que sec(x) = 1/cos(x). Assim, ficaremos com:

sec(x) = 1 / [√(5) / 3] ---- note que isto é a mesma coisa que:

sec(x) = 3/√(5) ---- para racionalizar, multiplica-se numerador e denominador por √(5). Assim:

sec(x) = 3*√(5) / √(5)*√(5)

sec(x) = 3√(5) / √(5*5)

sec(x) = 3√(5) / √(25) ----- como √(25) = 5, teremos:

sec(x) = 3√(5) / 5 <--- Esta é a resposta para o item "c" da 1ª questão.

d) csc(x) ---- veja que csc(x) = 1/sen(x). Assim, teremos:

csc(x) = 1/(2/3) ----- note que isto é a mesma coisa que:

csc(x) = 3/2 <--- Esta é a resposta para o item "d" da 1ª questão.

e) cotg(x) ---- veja que cotg(x) = cos(x) / sen(x). Assim, teremos;

cotg(x) = [√(5) / 3] / (2/3) ------ veja: divisão de frações e você já sabe qual é a regra. Logo:

cotg(x) = [√(5) / 3] * (3/2)

cotg(x) = 3*√(5) / 3*2 --- dividindo-se "3" do numerador com "3" do denominador, ficaremos apenas com:

cotg(x) = √(5) / 2 <--- Esta é a resposta para o item "e" da 1ª questão.

Bem, até agora, vimos toda as funções trigonométricas da 1ª questão.

Agora vamos para a 2ª questão e para a 3º questão.

Mas note: o raciocínio a ser seguido será o mesmo, para encontrar cada função trigonométrica nas outras duas questões que ainda faltam.

Basta você saber qual é o sinal do seno e do cosseno no quadrante em que o arco "x" estiver situado.

Na 2ª questão, foi dado que o sen(x) = 1/2 e que o arco "x" está no 2º quadrante. Então basta você saber que, no 2º quadrante, a função seno é positiva e a função cosseno é negativa.

Então todas as outras funções serão positivas ou negativas, pois todas as demais funções ou dependem do seno, ou do cosseno, ou de ambos. Para encontrá-las, basta você seguir raciocínio IDÊNTICO ao que usamos na 1ª questão para encontrar todas as demais funções trigonométricas.

Na 3ª questão foi dado que cos(a) = 4/3 e que o arco "a" pertence ao 2º quadrante, o que, já de logo, afirmo que o valor do cosseno NÃO pode ser igual a "4/3" positivo, pois no 2º quadrante o cosseno é negativo.

Portanto, reveja a 3ª questão ou no que se refere ao valor do cosseno ou no que se refere ao quadrante a que pertence o arco "a".

Bem, para resumir, veja os sinais do seno e do cosseno nos diversos quadrantes do círculo trigonométrico:

1º quadrante: seno e cosseno são positivos.

2º quadrante: seno é positivo e cosseno é negativo.

3º quadrante: seno e cosseno são negativos.

4º quadrante: seno é negativo e cosseno é positivo.

Bem, com base nas instruções ora fornecidas, vamos deixar as duas outras questões para você resolver. E, com certeza, você as resolverá tranquilamente.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

Ola Jones

relação trigonométrica

sen(x)² + cos(x)² = 1

4/9 + 5/9 = 1

cos(x) = √5/3

tg(x) = sen(x)/cos(x)

sec(x) = 1/cos(x)

cossec(x) = 1/sen(x)

cotg(x) = 1/tg(x)

modelo para fazer 02 e 03

pronto