Verified answer

Hola

No entiendo tu lógica.

Habría restricción en el dominio

en los valores que anulan el divisor,

pero el divisor sólo se anula en el origen.

Tenemos que examinar si hay límite

cuando nos acercamos al origen

Si nos acercamos con la recta

y = m x

el límite x-> 0 es igual a

m/(1 + m^2)

que depende de la pendiente m

así que NO hay límite

Dominio : R^2 - (0,0)

***************************

El mismo análisis para

f(x,y) = x y / raiz(x^2 + y^2)

nos lleva a que SI existe el límite para

(x,y) -> (0,0)

y entonces el dominio es todo R^2

Podemos demostrar la existencia del límite

sustituyendo

x = r cos(a) ; y = r sen(a)

f(x,y) = (r cos(a)) (r sen(a)) / r = r sen(a) cos(a)

Vemos que cuando r -> 0 ,

no importa el ángulo a,

tenemos que el límite existe y es 0

Por lo tanto

Dominio = R^2

ya que f(x,y) está definido

también para (0,0)

Supongo que x^2 + y^2 es el denominador, ¿no?

..... f(x,y) = xy / (x^2 + y^2)

Lo que se quiere es que el denominador no se anule, y eso sólo pasa si (x,y) = (0,0). Yo tampoco estoy de acuerdo en que sea todo ℝ^2. Debería ser:

..... Dom(f) = ℝ - { (0,0) }

Eso de |x| distinto de |y| sería válido si el denominador fuera x^2-y^2, para que así x^2 y y^2 no se cancelaran. Pero como aquí se están sumando, no importa que sean iguales.

Por ejemplo, x=4, y=4.

El denominador sería 16 + 16 = 32 ----> No se anula.

Veamos en dónde probablemente está tu error:

x^2 + y^2 ≠ 0

x^2 ≠ -y^2

Como x^2 y y^2 son valores positivos siempre, entonces siempre ocurrirá que x^2 ≠ -y^2, ya que un lado es positivo y el otro negativo, exceptuando el caso en que x e y sean cero, en donde quedaría 0 ≠ -0 (FALSO).

No puedes aplicar raíz para cancelar los cuadrados y menos obtener así el valor absoluto, ya que la operación:

. ____

√-y^2

no está definida en los reales. La cantidad subradical de una raíz par no puede ser negativa.

********************* ********************* ********************* ******************** ***************** *****************

................... ..... ________

..... f(x,y) = xy / √x^2 + y^2

Aquí hay dos restricciones.

1) La cantidad subradical de una raíz par siempre debe ser mayor o igual a cero.

..... x^2 + y^2 ≥ 0

..... ..... Como ambos sumandos están elevados al cuadrado, nunca son negativos, y por lo tanto la

..... ..... desigualdad se cumple siempre.

2) El denominador debe ser distinto de cero.

..... ..... La raíz sólo es cero cuando su cantidad subradical lo es, y esto sólo se da cuando (x,y) = (0,0).

..... ..... Esto por las mismas razones del ejercicio anterior.

De esta manera, vemos que el dominio es el mismo:

..... Dom(f) = ℝ - { (0,0) }

a