Obtenha os lados de um terreno retangular, de modo que seu perímetro seja 32 e a área seja Máxima. Me ajudem!?
Eu sei que tenho que fazer x + y = 16, e depois achar o "x e o y" do vértice..
Mas a soma dessa x e desse y não dá 32 !!!!!!!!
Alguem pode me explicar !!!??!!
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Então...você sabe que x+y=16...então y=16-x
a Área é dada em função de x e y...
A(x,y)=xy
como y=16-x, podemos escrever a área em função de x
A(x)=x(16-x)=16x-x^2
como voce deseja saber o lado que dá a área máxima, você procura pelo x do vértice, que é dado por -b/(2a)=-16/2(-1)=8
x=8 e y=16-8=8
os lados são 8 e 8!
(*)Você poderia usar também o fato de que o quadrado é o retângulo de área máxima quando o perímetro é fixo!
Bom, se o perÃmetro é 32 e o terreno é um retângulo tem-se:
32/4 = 8
Logo, a maior área seria aquela em que os lados fossem todos iguais, isto é, um quadrado:
A = 8 x 8 = 8^2 = 64 u^2 (unidades de medida quadrada)
Há um teorema que enuncia: "todo quadrado é um retângulo em que todos os seus lados são congruentes entre si" - têm a mesma medida. A recÃproca porém não é verdadeira, isto é, os retângulos não são quadrados. Logo, não se pode utilizar 64 u^2 como resposta! A resposta será o número mais próximo de 64. Se lembrares da tabuada, saberás que 7 x 9 = 63 que é somente uma unidade menor que 64. Pronto! Já se conhece a medida dos lados. Falta somente a comprovação:
7 e 9 serão as mediadas dos lados do retângulo em questão se e somente se produzirem o produto mais próximo de 64 ao mesmo tempo que totalizem 32 como perÃmetro.
De fato, terÃa-se (2 x 7) + (2 x 9) = 14 + 18 = 32 verdade!
DaÃ:
R: Os lados do retângulo medem 7 e 9 unidades de medida.
PerÃmetro(P) = 2x + 2y, logo:
2x + 2y = 32
2(x + y) = 32
x + y = 32/2
x + y = 16
Esse x + y podemos chamar de semi-perÃmetro.
x + y = 16
x = 16 - y
A = x*y
A = (16 - y)*y
A = 16y - y²
VA = -b/2a, onde b = 16 e a = -1
VA = -16/(2*(-1)) => -16/(-2) => 8
Logo, VA(y) = 8
Agora vamos a outra constatação:
Imagine que um terreno retangular genérico tem os lados x e y.
Vamos denominar o semi-perÃmetro como s, logo s = x + y
A área A = x*y, logo
x + y = s
x = s - y
A = x*y
A = (s - y)*y
A = sy - y²
VA = -b/2a, onde b = s e a = -1
VA = -s/(2*(-1)) => -s/(-2) => s/2
VA = x
s = x + y, logo:
x = (x + y)/2
2x = x + y
2x - x = y
x = y, o que prova que toda área retângular tem a sua máxima sobre a forma de um quadrado.
Assim sendo, voltando ao exercicio:
Como y = 8, e x = y, concluimos que x = 8, portanto, ambos os lados tem 8 e a área máxima é:
A = x*y
A = 8*8
A = 64
x+2+x+2+x+x=32
4x+4=32
4x=28
x=7
x+2=7+2=9
x+2=7+2=9
9+9+7+7=32
A= b.h
A=9.7
A=63
possÃveis áreas de um retângulo com perÃmetro 32
1 x 15 = 15
2 x 14 = 28
4 x 12 = 48
5 x 11 = 55
6 x 10 = 60
7 x 9 = 63
8 x 8 = 64 área maxima
Seja 2p o perÃmetro do retângulo. DaÃ, 2p = 2x + 2y (sendo x e y os lados do retângulo). Ou seja, p = x + y ==> y = p – x e A = xy = x(p – x) = xp – x². Queremos x tal que A’ = 0. Por conseguinte, x = p/2.
Y = p – x
Y = 16 – x
substituindo
A = x.y
A = x.( 16 – x )
A = 16x - x^2 ACHANDO A DERIVADA
A' = 16 - 2x
16 - 2x = 0
X = 16 / 2
X = 8
FELIZ EQUINÃSSIO DA PRIMAVERA
2(x+y)=32
x+y=16 ==>y=16-x
A=x*y=x*(16-x)=16x-x²
Amáx=-â/4a=-(16²)/(-4)= 64
x=-b/2a=-16/(-2)=8, que é o x da área máxima....
Não esquecendo que todo quadrado também é um retângulo..
x+y=16
8+y=16
y=8
Resp. x=8 e y=8
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2(x+y)=32
x+y=16 ==>y=16-x
A=x*y=x*(16-x)=16x-x²
Amáx=-â/4a=-(16²)/(-4)= 64
x=-b/2a=-16/(-2)=8, que é o x da área máxima....
Não esquecendo que todo quadrado também é um retângulo..
x+y=16
8+y=16
y=8
Resp. x=8 e y=8
OBS> este tipo de exercÃcio sempre teremos um quadrado....
Para que a área seja máxima, deve ser um quadrado, que tem 4 lados com medidas iguais
32/4=8, é quanto mede cada lado
´´area=8*8=64