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Como aquí (yahoo) no puedo colocar un archivo .docx solo me limitaré a decir que la respuesta es

x = y = z = r / √3

V = r³ / (3√3)

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Haciendo un análisis no muy exhaustivo, deducirás que el único paralelepípedo que se puede inscribir en la esfera es aquel que posea las caras rectangulares.

con eso tendrás un volumen V(x,y,z) = xyz

y la función subsidiaria x²+y²´+z² = r²

Notando que V está definida sobre un conjunto contenido en G = {(x,y,z): 0≤ x≤ 2r, 0≤ y≤ 2r, 0≤ z≤ 2r}

(fíjate que G es un compacto y V es un monomio)

Con esto ya puedes armar toooodo lo concerniente a los multiplicadores de Lagrange.

Si gustas puedes dejarme tu correo yahoo en la caja de comentarios para enviarte el susodicho documento, o bien buscarme en la página educativa (que no es mía) http://brainly.lat/

con el nombre de CarlosMath

PD: Déjame un like, para que yahoo me notifique...

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Sugerencia:

Multiplicadores de Lagrange

Mira la lista de ejercicios en las descripciones

https://youtu.be/STVo5grZXXQ

Hola

Dados 2 puntos de la esfera,

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)

tenemos determinado un paralelepípedo

considerando a esos puntos

como puntos opuestos simétricos al centro del parallelepípedo.

El volumen será

V = (x1 - x2) (y1 - y2) (z1 - z2)

eligiendo las magnitudes de los valores

x1 >= x2 ; y1 >= y2 ; z1 >= z2

para que V sea positivo

Las restricciones son

x1^2 + y1^2 + z1^2 = r^2

x2^2 + y2^2 + z2^2 = r^2

Presentamos el Lagrangiano

L(x1,x2,x3,y1,y2,y3,λ1,λ2) = (x1 - x2) (y1 - y2) (z1 - z2) +

+ λ1 (x1^2 + y1^2 + z1^2 - r^2) +

+ λ2 (x2^2 + y2^2 + z2^2 - r^2) +

Derivamos y anulamos las derivadas

1) ∂f/∂x1 = (y1 - y2) (z1 - z2) + 2 λ1 x1 = 0

2) ∂f/∂y1 = (x1 - x2) (z1 - z2) + 2 λ1 y1 = 0

3) ∂f/∂z1 = (x1 - x2) (y1 - y2) + 2 λ1 z1 = 0

4) ∂f/∂x2 = -(y1 - y2) (z1 - z2) + 2 λ2 x2 = 0

5) ∂f/∂y2 = -(x1 - x2) (z1 - z2) + 2 λ2 y2 = 0

6) ∂f/∂z2 = -(x1 - x2) (y1 - y2) + 2 λ2 z2 = 0

7) ∂f/∂λ1 = x1^2 + y1^2 + z1^2 - r^2 = 0

8) ∂f/∂λ2 = x2^2 + y2^2 + z2^2 - r^2 = 0

de 1) 4)

λ1 x1 = - λ2 x2

-λ1/λ2 = x1/x2

Igualmente de 2) 5) 3) 6

-λ1/λ2 = y1/y2

-λ1/λ2 = z1/z2

deducimos

x1 = k x2

y1 = k y2

z1 = k z2

con

k = -λ1/λ2

remplazamos en 7)

k^2 x2^2 + k^2 y2^2 + k2^2 z^2 = r^2

k^2 (x2^2 + y2^2 + z^2) = r^2

Según 8)

k^2 r^2 = r^2

k^2 = 1

Dos posibilidades

k = +1

En este caso

las coordenadas son iguales

y el volumen obtenido es 0.

Claramente este no es el máximo

k = -1

En este caso

las coordenadas son simétricas con respecto al centro

Claramente este es el máximo

Entonces

-λ1/λ2 = -1

λ1 = λ2

x2 = -x1 ; y2 = -y1 ; z2 = -z1

x1 - x2 = 2 x1

y1 - y2 = 2 y1

z1 - z2 = 2 z1

V = (2 x1) (2 y1) (2 z1) = 8 x1 y1 z1

quedan

1') (2 y1) (2 z1) + 2 λ1 x1 = 0

2') (2 x1) (2 z1) + 2 λ1 y1 = 0

3') (2 x1) (2 y1) + 2 λ1 z1 = 0

1') - λ1 = (2 y1) (2 z1)/(2 x1) = V/(4 x1^2)

2') - λ1 = (2 x1) (2 z1)/(2 y1) = V/(4 y1^2)

3') - λ1 = (2 x1) (2 y1)/(2 z1) = V/(4 z1^2)

Deducimos

x1 = +/- y1 = +/- z1

Todas estas soluciones

representan los vértices

de un cubo centrado en origen

sobre las rectas bisectrices de cada uno de los 8 diedros

Concluímos que

Vmax = 8 x1^3

El paralelepípedo de volumen máximo

inscripto en una esfera

resulta ser un cubo centrado en el origen

Saludos

Igualando la función f(x,y,z) = 0, y también la función que contiene el multiplicador de Lagrange.

Resuelves el sistema para el multiplicador de Lagrange, y luego sustituyes ese valor en la función para encontrar la respuesta.