¿Me pueden ayudar con este tema de matriz exponencial?
Teniendo una matriz "A" sé hallar la matriz "e^At" pero lo que quiero es hallar la matriz "e^A". Lo que estuve haciendo es aplicar "e^At" en 1 es decir, "e^At(1)" pero no sé si estoy bien, o si hay un método más rápido. Estoy hablando del caso general, y no sólo en el que las matrices son diagonales. Por favor ayúdenme
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Hola.
La idea es, como ha dicho GMS-FS,
es pasar la matriz A a forma diagonal D
con elementos diagonales Ri
y obtener la fòrmula
A = P D P^-1
(primer enlace)
Es fácil ver que se cumple
A^n = P D^n P^-1
donde D^n
es la matriz con los elementos diagonales Ri^n
Se define e^A como el desarrollo en serie
e^A = 1 + A + (1/2) A^2 + (1/6) A^3 + ...
a semejanza del desarrollo con nùmeros.
Deducimos, suponiendo la convergencia,
e^A = P e^D P^-1
donde e^D
es la matriz con los elementos diagonales e^Ri
Hasta aquì si la matriz es diagonalizable.
Si NO es diagonalizable,
es posible siempre llevarla a una forma de Jordan
lo que agrega pequeñas complicaciones al cálculo...
(segundo enlace)
Saludos.
Uff
La manera más fácil es trabajar en la base donde es diagonal y después volver a la base de partida. Simplemente tienes que calcular la matriz del cambio y su inversa. La mayoría de veces este procedimiento es el más rápido y cómodo.
Precisamente se inventan los cambios de base para eso, porque existe una base en la que las cosas son más fáciles de hacer. Se pasa de la difícil a la fácil. Se opera en la fácil, y cuando ya tengas el resultado final vuelves a la difícil.
Es como hacer una raíz de números complejos. Pasas a forma polar para hacerla y luego la vuelves a poner en la forma que tu quieras, pero para operar lo haces en la forma fácil, aunque dé pereza convertirlo.
No te entiendo, me parece que es lo mismo, la forma (con "t") está parametrizada. Suele escribirse así debido a que es compatible con ciertas identidades trigonométricas.
La solución será muy similar, con e^(A) = P * e^D * P^(-1) en lugar de e^(At) = P * e^(tD) * P^(-1)
Si la matriz no es diagonalizable se tendría que recurrir a la forma canónica de Jordan. Tal vez hayan atajos para la resolución...
En fin.