De todos los cilindros sin tapa inscritos en una esfera de 10 unidades de longitud de radio, obtener las dimensiones del que tiene mayor superficie.
Esfera de radio R
Cilindro de radio r y altura 2h
r^2 + h^2 = R^2
S = 2 pi r (2h) = 4 pi r h
Para simplificar el problema
hallamos el máximo de S^2
que será el máximo de S también
S^2 = 16 pi^2 r^2 h^2
S^2 = (16 pi^2) r^2 (R^2 - r^2)
S^2 = (16 pi^2) (R^2 r^2 - r^4)
Derivamos y anulamos la derivada
dS^2/dr = (16 pi^2) ( 2 R^2 r - 4 r^3) = 0
dS^2/dr = (16 pi^2) (2 r) ( R^2 - 2 r^2) = 0
Ignoramos el extremo trivial r = 0
Máximo
rmax = (1/√2) R
***********************
hmax^2 = R^2 - (1/2) R^2 = (1/2) R^2
hmax = (1/√2) R
El cilindro de superficie máxima
tiene la altura máxima (2 hmax)
el doble del radio máximo (rmax)
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Esfera de radio R
Cilindro de radio r y altura 2h
r^2 + h^2 = R^2
S = 2 pi r (2h) = 4 pi r h
Para simplificar el problema
hallamos el máximo de S^2
que será el máximo de S también
S^2 = 16 pi^2 r^2 h^2
S^2 = (16 pi^2) r^2 (R^2 - r^2)
S^2 = (16 pi^2) (R^2 r^2 - r^4)
Derivamos y anulamos la derivada
dS^2/dr = (16 pi^2) ( 2 R^2 r - 4 r^3) = 0
dS^2/dr = (16 pi^2) (2 r) ( R^2 - 2 r^2) = 0
Ignoramos el extremo trivial r = 0
Máximo
rmax = (1/√2) R
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hmax^2 = R^2 - (1/2) R^2 = (1/2) R^2
hmax = (1/√2) R
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El cilindro de superficie máxima
tiene la altura máxima (2 hmax)
el doble del radio máximo (rmax)