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Determine três números reais em P.G de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64

Vamos chamar nossos números de

X, xq e xq²

Assim têm-se que a soma é:

X (1 + q + q²) = 21/8 (I)

E a soma dois quadrados:

X² (1 + q² + q^4) = 189/64 (II)

Como

189/64 é divisível por 21/8

É fácil observar que (1 + q² + q^4) é divisível por (1 + q + q²)

Dividindo a equação (II) pela equação (II) obtém-se:

X (1 – q + q²) = 9/8 (III)

E agora subtraindo a equação (I) da (III) chegamos em

2xq = 12/8

Ou seja

xq = 6/8

xq = 3/4

Este é o termo central da progressão

Os outros são:

x = 3/4q

e

xq² = 3q/4

Assim temos,

3/4q + ¾ + 3q/4 = 21/8

Que equivale a

6 + 6q + 6q² = 21q

Ordenando a equação temos:

6q² - 15q + 6 = 0

q² - 2,5q + 1 = 0

Delta = 6,25 – 4 = 2,25

sqrt(delta) = 1,5

Onde encontramos

q’ = ½

q’’ = 2

QSL?

Tudo QueEsseElado?

Nada melhor para adoçar o café da segunda...bom... estou de férias... kkk

( x ,xq , xq²)

x+xq+xq²= 21/8

x² + x²q² + x²q^4 = 189/64

x(1+q+q²) = 21/8

x ( 1 + q² +q^4 )= 189/64

21/8 / 1+q+q² = 189/64 / 1+q+q^4

pelo santo... vamos chamar 1+q+q² = y , 1+q²+q^4 = y²

21/8 / y = 189/64 / y²

vou cortar y ,pois a raiz 0 não se aplicada a uma P.G

21/8 y = 189/64 => y = 9/8

1+q+q² = 9/8 => q+q² = 9/8 - 8/8 => q+q² = 1/8 , termine plz

Vamos lá.

Pede-se para determinar 3 números reais em PG, de modo que a sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64.

Veja: como se trata de uma PG, então vamos chamar os seus três primeiros termos assim:

1º termo: x

2º tremo: xq

3º termo: xq²

Como a soma deles três é igual a 21/8, temos:

x + xq + xq² = 21/8 ---- colocando "x" em evidência no 1º membro, emos:

x*(1 + q + q²) = 21/8 ---- multiplicando em cruz, ficamos com:

8*x*(q + q + q²) = 21 , ou:

x*8*(1 + q + q²) = 21 , ou:

x*(8 + 8q + 8q²) = 21

x = 21/(8 + 8q + 8q²) . (I)

E, como a soma dos seus quadrados é igual a 189/64, então:

x² + x²q² + x²q^4 = 189/64 ---- vamos colocar "x²" em evidência no 1º membro, ficando:

x²*(1 + q² + q^4) = 189/64 --- multiplicando em cruz, temos:

x²*64*(1 + q² + q^4) = 189 , ou:

x²*(64 + 64q² + 64q^4) = 189

x² = 189/(64 + 64q² + 64q^4) . (II)

Mas, conforme (I), temos que x = 21/(8 + 8q + 8q²), ou 21/(8q²+8q+8).

Então vamos substituir, na igualdade (II) acima, o valor de "x" por seu valor dado. Então;

[21/(8q² + 8q +8)]² = 189/(64q^4+64q²+64) ---- desenvolvendo o 1º membro, temos:

441/(64q^4 + 128q³ + 192q² + 128q + 64) = 189/(64q^4 + 64q² + 64)

Multiplicando em cruz, vamos ficar com:

441*(64q^4 + 64q² + 64) = 189*(64q^4 + 128q³ + 192q² + 128q + 64)

28.224q^4 + 28.224q² + 28.224 = 12.096q^4+24.192q³+36.288q²+24.192q+12.096

Passando todo o 2º membro para o 1º, vamos ficar com:

28.224q^4 + 28.224q² + 28.224 - 12.096q^4-24.192q³-36.288q²-24.192q-12.096 = 0

Reduzindo os termos semelhantes, vamos ficar com:

16.128q^4 - 24.192q³ - 8.064q² - 14.192q + 16.128 = 0

Aplicando as relações de Girard, você encontra as seguintes raízes (APROXIMADAS):

q' = 0,5

q'' = 2

q''' = - 0,5 - 0,866i

q'''' = - 0,5 + 0,866i

Agora veja: como a soma dos três itens dá igual a 21/8, então vamos utilizar apenas a razão real que é maior do que "1". Assim, tomamos apenas a raiz q = 2.

Vamos substituir "q" por "2" na soma, que é igual a 21/8. Assim, temos:

x + xq + xq² = 21/8 --- substituindo "q" por "2", temos:

x + x*2 + x*2² = 21/8

x + x*2 + x*4 = 21/8

x + 2x + 4x = 21/8

7x = 21/8

x = 21/8/7

x = 21/8*7

x = 21/56 <---- Esse é o valor de "x".

Assim, a PG será, considerando que os termos são:

1º termo: x ----> 21/56

2º termo: xq ---> (21/56)*2 = 21*2/56 = 42/56

3º termo: xq² ---> (21/56)*2² = 21*4/56 = 84/56.

Então a PG será, pois:

(21/56 ; 42/56 ; 84/56)

Se não erramos nos cálculos (já que, como houve muitos cálculos, estamos sujeitos a enganos), a PG é a que demos acima.

OK?

Adjemir.

Sinto muito mas não sei te dizer a resposta.

Mas pq vc não procura em algum site de matemática.

nussa olhei pra sua pergunta e lembrei que eu nunca soube disso.

vo ate marca aki pra ve depois. bateu ate uma depressão no meu primeiro dia de ferias.