Veja:
sen²(x)=[1-cos(2x)]/2
∫sen²xdx=
∫[1-cos(2x)]dx/2=
∫[1]dx/2 - ∫[cos(2x)]dx/2=
∫dx/2 - ∫[cos(2x)]dx/2=
x/2 - ∫[cos(2x)]dx/2=
u=2x
du=2dx
dx=du/2
x/2 - ∫[cos(u)]du/4=
x/2 - sen(u)/4 + c=
x/2 - sen(2x)/4 + c
Você tem 2 alternativas: integrar por partes ou utilizar um truque. Vou responder utilizando o truque!
Sabemos que cos²x + sen²x = 1, ou seja, sen²x = 1 - cos²x
Sabemos também que cos² - sen²x = cos(2x) => -cos²x = -cos(2x) - sen²x, assim
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
sen²x = 1 - cos²x = 1 - cos(2x) - sen²x
Isolando sen²x, obtemos:
2sen²x = 1 - cos(2x) => sen²x = 1/2 - (1/2)cos(2x)
Agora a integral ficou bem mais fácil de calcular!
â«sen²x = â«1/2 - (1/2)cos(2x) dx = x/2 - (1/4)sen(2x) + C
â«sen²xdx =
â«sen²xdx =1/2 [sen (x )Cos(x)] + c
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Veja:
sen²(x)=[1-cos(2x)]/2
∫sen²xdx=
∫[1-cos(2x)]dx/2=
∫[1]dx/2 - ∫[cos(2x)]dx/2=
∫dx/2 - ∫[cos(2x)]dx/2=
x/2 - ∫[cos(2x)]dx/2=
u=2x
du=2dx
dx=du/2
x/2 - ∫[cos(2x)]dx/2=
x/2 - ∫[cos(u)]du/4=
x/2 - sen(u)/4 + c=
x/2 - sen(2x)/4 + c
Você tem 2 alternativas: integrar por partes ou utilizar um truque. Vou responder utilizando o truque!
Sabemos que cos²x + sen²x = 1, ou seja, sen²x = 1 - cos²x
Sabemos também que cos² - sen²x = cos(2x) => -cos²x = -cos(2x) - sen²x, assim
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
sen²x = 1 - cos²x = 1 - cos(2x) - sen²x
Isolando sen²x, obtemos:
2sen²x = 1 - cos(2x) => sen²x = 1/2 - (1/2)cos(2x)
Agora a integral ficou bem mais fácil de calcular!
â«sen²x = â«1/2 - (1/2)cos(2x) dx = x/2 - (1/4)sen(2x) + C
â«sen²xdx =
â«sen²xdx =1/2 [sen (x )Cos(x)] + c