¿La velocidad v de un paracaidista que cae está dada por v = gm/c ((1−e−(c/m)t ) )?
La velocidad v de un paracaidista que cae está dada por
v = gm/c ((1−e−(c/m)t ))
donde g = 9.8 m/s2. Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de c = 15 kg/s, calcule la masa m de modo que la velo- cidad sea v = 35 m/s en t = 9s. Utilice el método de la falsa po- sición para determinar m a un nivel de es = 0.1%.
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Hola
Mejor
v = ((m g)/c) * (1 - e^(-(c/m) t))
Esto representa la solución de la ecuación diferencial
de la caída libre con resistencia proporcional (constante c)
a la velocidad.
Cuando el tiempo crece,
la velocidad se acerca a
vo = (m g)/c
que, físicamente, se obtiene
cuando el peso (m g)
iguala a la resistencia (c vo)
La ecuación diferencial es
m a - c v = 0
ó
(dv/dt) - (c/m) v = 0
con condiciones iniciales
vo = 0
ao = (dv/dt)o = g
****************************************
La ecuación planteada es
v = ((m g)/c) * (1 - e^(-(c/m) t))
v = ((m 9.8)/15) * (1 - e^(-(15/m) *9) ) = 35
m * (1 - e(-135/m)) = 35 * 15 / 9.8
Analizamos las unidades
15 kg/s * 9 s = 135 kg
así que el exponente queda adimensional
con m en kg
(35 m/s) * (15 kg/s) / (9.8 m/s^2) = 53.57 kg
así que el resultado queda coherente
con m en kg
Nos queda la ecuación trascendente
f(m) = m * (1 - e(-135/m)) - 53.57 = 0
Con ayuda de Excel
Trabajamos con 5 decimales
Para m1 = 50
f(50) = -6.93027
Para m2 = 60
f(60) = 0.10604
Como hay cambio de signo, podemos establecer
que hay una raíz intermedia
Pendiente de la secante
entre f(50) y f(60)
Pend1 = (f(60) - f(50))/(60-50)
Pend1 = (0.10604 - (-6.93027))/10
Pend1 = (7.03632)/10
Pend1 = 0.70363
********************
Encontramos la raíz intermedia
m11 = 50 - ((-6.93027)/Pend1)
m11 = 50 - ((-6.93027)/0.70363)
m11 = 50 - (-9.84929)
m11 = 59.84929
Para m11
f(m11) = 0.00686
**********************
Establecemos el nuevo intervalo con valores opuestos
Para m1 = 50
f(m1) = -6.93027
Para m11 = 59.84929
f(m11) = 0.00686
Como hay cambio de signo, podemos establecer
que hay una raíz intermedia
Pendiente de la secante
entre f(m1) y f(m11)
Pend2 = (f(m11) - f(m1))/(m11-m1)
Pend2 = (0.00686 - (-6.93027))/9.84929
Pend2 = (6.93713)/9.84929
Pend2 = 0.70432
********************
Encontramos la raíz intermedia
m12 = 50 - ((-6.93713)/Pend2)
m12 = 50 - ((-6.93713)/0.70432)
m12 = 50 - (-9.83954)
m12 = 59.83954
Para m12
f(m12) = 0.00044
**********************
Establecemos el nuevo intervalo con valores opuestos
Para m1 = 50
f(m1) = -6.93027
Para m12 = 59.83954
f(m12) = 0.00044
Como hay cambio de signo, podemos establecer
que hay una raíz intermedia
Pendiente de la secante
entre f(m1) y f(m12)
Pend3 = (f(m12) - f(m1))/(m12-m1)
Pend3 = (0.00044 - (-6.93027))/9.83954
Pend3 = (6.93072)/9.83955
Pend3 = 0.70437
********************
Encontramos la raíz intermedia
m13 = 50 - ((-6.93072)/Pend3)
m13 = 50 - ((-6.93072)/0.70437)
m13 = 50 - (-9.83892)
m13 = 59.83892
Para m13
f(m13) = 0.0000286
**********************
Hemos llegado cerca de los 5 decimales
con lo que podemos tomar exactamente 4 decimales
Con 4 decimales
m = 59.8389
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Saludos
+2