¿Hallar la ecuacion de la recta paralelo a dos planos y se cruza con dos rectass?
Hola alguien me puede ayudar es halla la ecuacion de la recta paralela a dos planos 3x+12y-3z=5 ; 3x-4y+9z=-7 y corta con las rectas (x,y,z)=(-5,3,-1)+t(2,-4,3) y (x,y,z)=(3,-1,2)+t(-2,3,4) gracias de antemano
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Hola
Vector dirección
Producto vectorial de normales N1, N2
N1 = (1 , 4 , -1)
N2 = (3 , -4 , 9)
N1 x N2 =
= ( ((4)(9) - (-1)(-4)) ; -((1)(9) - (-1)(3)) ; ((1)(-4) - (4)(3)) )
N1 x N2 = ( (36 - 4) ; -(9 + 3) ; (-4 -12) )
N1 x N2 = ( 32 ; -12 ; -16 )
Usamos un submúltiplo como dirección
D = (-8 , 3 , 4)
******************
Se verifica fácilmente
que D es normal a ambos planos
y por lo tanto, paralela a la intersección de ambos planos.
Ahora formamos
Lo
x = xo - 8 t
y = yo + 3 t
z = zo + 4 t
que corta a las rectas (parámetros u,v distintos a t)
L1
x = -5 + 2 u
y = 3 - 4 u
z = -1 + 3 u
L2
x = 3 - 2 v
y = -1 + 3 v
z = 2 + 4 v
Intersección Lo L1
Igualamos componentes x;y
insertamos igualdad en componente z
x = xo - 8 t = -5 + 2 u
y = yo + 3 t = 3 - 4 u
1) 8 t + 2 u = xo + 5
2) 3 t + 4 u = -yo + 3
Con determinantes
D1 = (8)*(4) - (2)*(3) = 32 - 6 = 26
D1*t1 = (xo+5)*(4) - (-yo+3)*(2) = 4 xo + 20 + 2 yo - 6
t1 = (4 xo + 2 yo + 14)/26
D1*u1 = (8)*(-yo + 3) - (xo + 5)*(3) = -8 yo + 24 - 3 xo - 15
u1 = (-3 xo - 8 yo + 9)/26
Ahora, remplazamos en z
z = zo + 4 t1
z = zo + 4(4 xo + 2 yo + 14)/26
z = (26 zo/26) + 4(4 xo + 2 yo + 14)/26
z = (16 xo + 8 yo + 26 zo + 56)/26
z = -1 + 3 u1
z = -1 + 3 (-3 xo - 8 yo + 9)/26
z = (-26/26) + 3 (-3 xo - 8 yo + 9)/26
z = (-9 xo - 24 yo + 27 - 26)/26
z = (-9 xo - 24 yo + 1)/26
Los componentes z deben ser iguales
(16 xo + 8 yo + 26 zo + 56)/26 = (-9 xo - 24 yo + 1)/26
16 xo + 8 yo + 26 zo + 56 = -9 xo - 24 yo + 1
25 xo + 32 yo + 26 zo + 55 = 0
1a) zo = (-25 xo - 32 yo - 55)/26
**********************************
Intersección Lo L2
Igualamos componentes x;y
insertamos igualdad en componente z
x = xo - 8 t = 3 - 2 v
y = yo + 3 t = -1 + 3 v
1) 8 t - 2 v = xo - 3
2) 3 t - 3 v = -yo - 1
Con determinantes
D2 = (8)*(-3) - (3)*(-2) = -24 + 6 = -18
D2*t2 = (xo-3)*(-3) - (-yo-1)*(-2) = -3 xo + 9 - 2 yo - 2
t2 = (3 xo + 2 yo - 7)/18
D2*v2 = (8)*(-yo - 1) - (xo - 3)*(3) = -8 yo - 8 - 3 xo + 9
v2 = (3 xo + 8 yo - 1)/18
Ahora, remplazamos en z
z = zo + 4 t2
z = zo + 4(3 xo + 2 yo - 7)/18
z = (18 zo/18) + 4(3 xo + 2 yo - 7)/18
z = (12 xo + 8 yo + 18 zo - 28)/18
z = 2 + 4 v2
z = 2 + 4 (3 xo + 8 yo - 1)/18
z = (36/18) + 4 (3 xo + 8 yo - 1)/18
z = (12 xo + 32 yo - 4 + 36)/18
z = (12 xo + 32 yo + 32)/18
Los componentes z deben ser iguales
(12 xo + 8 yo + 18 zo - 28)/18 = (12 xo + 32 yo + 32)/18
12 xo + 8 yo + 18 zo - 28 = 12 xo + 32 yo + 32
-24 yo + 18 zo = 60
-4 yo + 3 zo = 10
1b) zo = (4 yo + 10)/3
**********************************
Igualamos 1a) 1b)
zo = (-25 xo - 32 yo - 55)/26 = (4 yo + 10)/3
3 (-25 xo - 32 yo - 55) = 26 (4 yo + 10)
-75 xo - 96 yo - 165 = 104 yo + 260
75 xo + 200 yo + 425 = 0
3 xo + 8 yo + 17 = 0
yo = (- 3 yo - 17)/8
**********************
Tenemos soluciones enteras para
xo = -11
yo = 2
zo = 6
Recta buscada
Lo
x = -11 - 8 t
y = 2 + 3 t
z = 6 + 4 t
**********************
Intersección de Lo y L1
Lo
x = -11 - 8 t
y = 2 + 3 t
z = 6 + 4 t
L1
x = -5 + 2 u
y = 3 - 4 u
z = -1 + 3 u
t1 = (4 xo + 2 yo + 14)/26
t1 = (4 (-11) + 2 (2) + 14)/26
t1 = (-44 + 4 + 14)/26
t1 = -26/26
t1 = -1
u1 = (-3 xo - 8 yo + 9)/26
u1 = (-3 (-11) - 8 (2) + 9)/26
u1 = (33 - 16 + 9)/26
u1 = 26/26
u1 = 1
Punto de encuentro Lo,L1
x = -3 ; y = -1 ; z = 2
********************************
Intersección de Lo y L2
Lo
x = -11 - 8 t
y = 2 + 3 t
z = 6 + 4 t
L2
x = 3 - 2 v
y = -1 + 3 v
z = 2 + 4 v
t2 = (3 xo + 2 yo - 7)/18
t2 = (3 (-11) + 2 (2) - 7)/18
t2 = (-33 + 4 - 7)/18
t2 = -36/18
t2 = -2
v2 = (3 xo + 8 yo - 1)/18
v2 = (3 (-11) + 8 (2) - 1)/18
v2 = (-33 + 16 - 1)/18
v2 = -18/18
v2 = -1
Punto de encuentro Lo,L2
x = 5 ; y = -4 ; z = -2
**************************