¿Es diferenciable la función en el origen?
¿Es diferenciable la función f(x,y)=(x^2+y^2)^(1/2) en el origen?
ME PUEDEN EXPLICAR SI DICHA FUNCIÓN ES DIFERENCIABLE EN EL ORIGEN. LA VERDAD NO ENTIENDO EL CONCEPTO DE DIFERENCIABILIDAD.
Se supone que para que una funcion sea diferenciable debe ser continua y que existan sus derivadas parciales y estas a su vez sean continuas.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Hola
Es un tema complicado
probar la diferenciabilidad.
No, no es cierta tu suposición.
Lo que es cierto es el teorema opuesto,
si NO existen las derivadas parciales,
la función NO es diferenciable.
Veamos si existen las derivadas parciales
∂f/∂x = (1/2) (2 x) (x^2 + y^2)^(-1/2)
∂f/∂x = (x)/(x^2 + y^2)^(1/2)
*******************************
del mismo modo
∂f/∂y = (y)/(x^2 + y^2)^(1/2)
*******************************
En el origen
∂f/∂x = (x)/(x^2 + y^2)^(1/2)
Tiende a 1/(1+m^2) para y = m x
Como tenemos distintos límites
para distintas rectas,
la derivada parcial con respecto a x (la otra también)
NO existe,
por lo tanto, la función NO es diferenciable,
a pesar de ser continua para (x,y) -> (0,0)
Saludos.
f(x,y)=(x^2+y^2)^(1/2)
definición de una función diferenciable en (x,y)
lim ... |f(x+u , y+v) - f(x,y) - T(u,v)| / √(u²+v²) = 0
(u,v)->(0,0)
donde T es una transformación lineal
Veamos si f es diferenciable en (0,0)
L = lim ... |f(u ,v) - f(0,0) - T(u,v)| / √(u²+v²)
(u,v)->(0,0)
L = lim ... |√(u²+v²) - T(u,v)| / √(u²+v²)
(u,v)->(0,0)
L = lim ... |1 - T(u,v) / √(u²+v²) |
(u,v)->(0,0)
L =| lim ... 1 - T(u,v) / √(u²+v²) |
(u,v)->(0,0)
sea T(u,v) = au + bv
donde a y b son constantes arbitrarias y fijas
hallemos
. . . lim . . . (au+bv) / √(u²+v²)
(u,v)->(0,0)
Puesto que la función dentro del límite está definida en el conjunto P={(u,v): v = mu, m ≠ 0}, entonces hallemos el límite por el conjunto P
. . . lim . . . (au+bmu) / √(u²+m²u²)
(u,v)->(0,0)
(u,v) ∈ P
. . . lim . . . (a+bm) / √(1+m²)
(u,v)->(0,0)
(u,v) ∈ P
(a+bm) / √(1+m²)
se observa que el límite depende del valor de m, por ello no existe el límite a través de P (es el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen omitiendo a (0,0) )
Entonces ¿podemos afirmar que no existe el límite? Por supuesto, ya que P cubre todo el dominio de la función
(au+bv) / √(u²+v²)
entonces hemos concluido que el límite
L =| lim ... 1 - T(u,v) / √(u²+v²) |
(u,v)->(0,0)
no existe, es decir que tampoco existe la transformación T, tal que
L =| lim ... 1 - T(u,v) / √(u²+v²) | = 0
(u,v)->(0,0)
La tranformación T, es precisamente la diferencial de f
=============
Aunque no sea del tema diferenciabilidad, quizá pueda servirte...
Limites de funciones en dos variables 1/2
Mira la lista de ejercicios en las descripciones
https://youtu.be/3vVJM8lA8nc
https://youtu.be/J1vd8u-SMmQ