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Basta resolver o sistema de congruências:

{ x ≡ 5 (mod 37)

{ x ≡ 4 (mod 43)

{ x < 2000

Como mdc (37, 43) = 1, o sistema possui solução.

A solução para a primeira congruência é x = 5 + 37a

Substituindo na segunda congruência:

5 + 37a ≡ 4 (mod 43)

37a ≡ - 1 (mod 43)

Mas, 1333 ≡ - 1 (mod 43)

Logo, 37.(36) ≡ -1 (mod 43)

Então, 37a ≡ 37.(36) (mod 43)

a ≡ 36 (mod 43)

a = 36 + 43b

x = 5 + 37(36 + 43b)

x = 1337 + 1591b................Para b = 0, 1, 2, 3...

Como devemos ter x < 2000, só serve b = 0

Daí vem, x = 1337

Então, há apenas 1 número menor que 2000 que, simultaneamente, deixa resto 5 na divisão por 37 e resto 4 na divisão por 343.

Para confirmar, observe que:

1337 - 5 = 1332 = 37 . 36

1337 - 4 = 1333 = 43 . 31

37K + 5 = 43J + 4

J = 37n + 31

K = 43n + 36

37n + 31 < 2000

37n < 1969

n < 53

43n + 36 < 2000

43n < 1964

n < 45

resposta n < 45

pronto