¿Ejercicio de ecuaciones diferenciales y series (parte b)?
ya hallé el desarrollo en series de potencias de y"+xy +y=0, que es la parte a. El problema el la parte b que no comprendo, me dice que "haga una elección adecuada de los coeficientes de la serie encontrada en la parte anterior para obtener la solución y=e^(-x^2/2)".
Ayuda!. Saludos
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Hola
y'' + x y' + y = 0
Lástima que no has compartido
el desarrollo...
y = ao + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + ...
y' = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + 4 a4 x^3 + ...
x y' = a1 x + 2 a2 x^2 + 3 a3 x^3 + 4 a4 x^4 + ...
y'' = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + 20 a5 x^3 + 30 a6 x^4 + ...
Coeficiente constante
ao + 2 a2 = 0
a2 = - (1/2) ao
Coeficiente lineal
6 a3 + a1 + a1 = 0
6 a3 = - 2 a1
a3 = -(1/3) a1
Coeficiente de grado 2
12 a4 + 2 a2 + a2 = 0
12 a4 = - 3 a2
a4 = -(1/4) a2 = (1/8) ao
Coeficiente de grado 3
20 a5 + 3 a3 + a3 = 0
20 a5 = - 4 a3
a5 = -(1/5) a3 = (1/(3*5)) a1
Coeficiente de grado 4
30 a6 + 4 a4 + a4 = 0
30 a6 = -5 a4
a6 = -(1/6) a4 = -(1/48) ao
Entonces
y = ao (1 - (1/2) x^2 + (1/8) x^4 - (1/48) x^6 + ...) +
+ a1 x( 1 - (1/3) x^2 + (1/(3*5)) x^4 - ...)
Como corresponde a una ecuación de 2º orden,
la solución depende de 2 coeficientes
El primer desarrollo parece ser el de
e^(-x^2/2)
Verifiquemos
e^(-x^2/2) =
= 1 + (-x^2/2) + (1/2) (-x^2/2)^2 + (1/6) (-x^2/2)^3 + ...
= 1 - (1/2) x^2 + (1/8) x^4 - (1/48) x^6 + ...)
Entonces, basta con las condiciones
ao = 1
a1 = 0
para que la función
y = e^(-x^2/2)
satisfaga la ecuación diferencial
Muchas gracias, resultó ser más sencillo de lo que parecía!