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Hola

Existe el concepto de polaridad,

La recta polar de un punto

tiene intersecciones con la cónica

que son los puntos de contacto

de las tangentes desde ese punto.

Para la cónica dada

-16 x^2 + 9 y^2 + 16 x + 32 = 0

la recta polar del punto xo, yo es

-16 x xo + 9 y yo + 8 (x + xo) + 32 = 0

Para

xo = -2 ; yo = 5

tenemos la recta polar

-16 x (-2) + 9 y (5) + 8 (x + (-2)) + 32 = 0

32 x + 45 y + 8 x - 16 + 32 = 0

40 x + 45 y + 16 = 0

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Ahora buscamos las intersecciones con la cónica,

que nos dará los puntos de contacto de las tangentes

Insertamos

45 y = -16 - 40 x

en

-16 x^2 + 9 y^2 + 16 x + 32 = 0

Primero, multiplicamos por 9*25 = 225

para que nos quede (45 y)^2

-3600 x^2 + 2025 y^2 + 3600 x + 7200 = 0

-3600 x^2 + (45 y)^2 + 3600 x + 7200 = 0

Ahora remplazamos

-3600 x^2 + (-16 - 40 x)^2 + 3600 x + 7200 = 0

-3600 x^2 + 256 + 1280 x + 1600 x^2 + 3600 x + 7200 = 0

-2000 x^2 + 4880 x + 7456 = 0

1000 x^2 - 2440 x - 3728 = 0

FÓRMULA ECUACIÓN CUADRÁTICA

x₁;x₂ = { -(b) ± √[(b)² - 4(a)(c)] }/(2(a))

x₁;x₂ = { -(-2440) ± √[(-2440)² - 4(1000)(-3728)] }/(2(1000))

x₁;x₂ = { 2440 ± √[5953600 +14912000] }/(2000)

x₁;x₂ = { 2440 ± √[20865600] }/(2000)

x₁;x₂ = { 2440 ± √[129600*161] }/(2000)

x₁;x₂ = { 2440 ± 360√(161) }/(2000)

x₁;x₂ = { 122 ± 18√(161) }/(100)

Los radicales son grandes.

Trabajemos con 4 decimales

Primer punto de contacto con las tangentes

x1 = ( 122 - 18√(161) )/(100)

x1 = -1.0640

y1 = (-16 - 40 x1)/45

y1 = 0.5902

Recta tangente 1

m1 = ((5) - (0.5902))/((-2) - (-1.0640))

m1 = -4.7111

y - 5 = m1 (x -(-2))

y - 5 = (-4.7111)(x + 2)

y = -4.7111 x - 4.4221

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Segundo punto de contacto con las tangentes

x2 = ( 122 + 18√(161) )/(100)

x2 = 3.5039

y2 = (-16 - 40 x2)/45

y2 = -3.4702

Recta tangente 2

m2 = ((5) - (-3.4702))/((-2) - (3.5039))

m2 = -1.5389

y - 5 = m2 (x -(-2))

y - 5 = (-1.5389)(x + 2)

y = -1.5389 x + 1.9221

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Verificado con Graphmatica

la respuesta es pi 3.1416