En donde los espacios en blanco que he dejado marcados con "_" corresponden a coeficientes que puedes calcular así:
Fíjate que los sumandos siempre tienen una potencia de x^k multiplicando a una de y^m, en donde
k + m = n, por eso estos sumandos se pueden escribir como:
_x^kh^(n - k)
y el coeficiente que acompaña a este sumando es "combinaciones de n en k".
Pero si no estás muy enterado de los números combinatorios, aún tienes un método nemotécnico para tener a la mano estos coeficientes, es el "Triángulo de Pascal o de Tartaglia".
Este triángulo es el siguiente:
. . . 1
. .1 2 1
.1 3 3 1
1 4 6 4 1
Cada fila corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia de k + h correspondiente, así
Para (x + h)² se toman los coeficientes de la segunda fila: 1 2 1 y
(x + h)² = x² + 2xh + h².
para (x + h)³ la tercera fila del triángulo es 1 3 3 1, de donde:
(x + h)³ = x³ + 3x²h + 3xy² + y³.
La cuarta fila del triángulo es 1 4 6 4 6, de donde:
(x + h)^4 = x^4 + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y^4
Ahora te preguntarás cómo es la quinta fila, para poder desarrollar (x + h)^5, y bien, te diré cómo construir cualquier fila a partir de la anterior.
Fíjate por ejemplo en la segunda fila:
1 2 1
para construir la tercera, que tendrá un elemento más que la segunda, es decir; 4 elementos, debes poner sendos unos en los extremos y dejar espacios en blanco para los dos elementos que faltan:
1 _ _ 1
Ahora fíjate cómo va la cosa res`pecto de la segunda fila, la que está sobre la que estás construyendo:
1 2 1
1 _ _ 1
El primer espacio en blanco en la tercera fila está entre un 1 y un 2, estos dos números se suman para obtener el número que va en el primer espacio en blanco en la tercera fila:
1 2 1
1 3 _ 1
El segundo espacio en blanco está entre los números 2 y 1 en la segunda fila, por lo que este espacio es llenado por otro 3 (= 2 + 1) y la tercera fila es:
1 2 1
1 3 3 1
Utilizas ahora la misma receta para construir la cuarta fila:
. 1 2 1
1 3 3 1
1 _ _ _ 1
El primer espacio en blanco en la cuarta fila está entre un 1 y un 3, de donde en ese primer espacio en blanco va un 4, el segundo está entre dos 3, por lo tanto ahí va un 6 y el último espacio en blanco está entre un 3 y un 1, de donde ahí va un cuatro y el triángulo hasta la cuarta fila queda:
. 1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
La quinta fila creo que ya la sabes construir
. . 1 2 1
. 1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 _ _ _ _ 1
El primer lugar es un 5 = 1 + 4, pues va entre un 1 y un 4.
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(x + h)^n = x^n + _x^(n - 1)h + _x^(n - 2)h² + _x^(n - 3)h³ + ... + _x³h^(n - 3) + _x²h^(n - 2) + _xh^(n - 1) + h^n.
En donde los espacios en blanco que he dejado marcados con "_" corresponden a coeficientes que puedes calcular así:
Fíjate que los sumandos siempre tienen una potencia de x^k multiplicando a una de y^m, en donde
k + m = n, por eso estos sumandos se pueden escribir como:
_x^kh^(n - k)
y el coeficiente que acompaña a este sumando es "combinaciones de n en k".
Pero si no estás muy enterado de los números combinatorios, aún tienes un método nemotécnico para tener a la mano estos coeficientes, es el "Triángulo de Pascal o de Tartaglia".
Este triángulo es el siguiente:
. . . 1
. .1 2 1
.1 3 3 1
1 4 6 4 1
Cada fila corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia de k + h correspondiente, así
Para (x + h)² se toman los coeficientes de la segunda fila: 1 2 1 y
(x + h)² = x² + 2xh + h².
para (x + h)³ la tercera fila del triángulo es 1 3 3 1, de donde:
(x + h)³ = x³ + 3x²h + 3xy² + y³.
La cuarta fila del triángulo es 1 4 6 4 6, de donde:
(x + h)^4 = x^4 + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y^4
Ahora te preguntarás cómo es la quinta fila, para poder desarrollar (x + h)^5, y bien, te diré cómo construir cualquier fila a partir de la anterior.
Fíjate por ejemplo en la segunda fila:
1 2 1
para construir la tercera, que tendrá un elemento más que la segunda, es decir; 4 elementos, debes poner sendos unos en los extremos y dejar espacios en blanco para los dos elementos que faltan:
1 _ _ 1
Ahora fíjate cómo va la cosa res`pecto de la segunda fila, la que está sobre la que estás construyendo:
1 2 1
1 _ _ 1
El primer espacio en blanco en la tercera fila está entre un 1 y un 2, estos dos números se suman para obtener el número que va en el primer espacio en blanco en la tercera fila:
1 2 1
1 3 _ 1
El segundo espacio en blanco está entre los números 2 y 1 en la segunda fila, por lo que este espacio es llenado por otro 3 (= 2 + 1) y la tercera fila es:
1 2 1
1 3 3 1
Utilizas ahora la misma receta para construir la cuarta fila:
. 1 2 1
1 3 3 1
1 _ _ _ 1
El primer espacio en blanco en la cuarta fila está entre un 1 y un 3, de donde en ese primer espacio en blanco va un 4, el segundo está entre dos 3, por lo tanto ahí va un 6 y el último espacio en blanco está entre un 3 y un 1, de donde ahí va un cuatro y el triángulo hasta la cuarta fila queda:
. 1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
La quinta fila creo que ya la sabes construir
. . 1 2 1
. 1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 _ _ _ _ 1
El primer lugar es un 5 = 1 + 4, pues va entre un 1 y un 4.
El segundo es un 10 = 4 + 6,
el tercero: 10 = 6 + 4,
el cuarto otro 5 = 4 + 1
. . 1 . 2 . 1
. 1 . 3 . 3. 1
1. 4 . 6 . 4 1
1 5 10 10 5 1
De donde
(x + h)^5 = x^5 + 5x^4h + 10x³h² + 10x²h³ + 5xh^4 + h^5.
Con esto tienes no sólo larespuesta a tu pregunta, sino el desarrollo de cualquier potencia natural de
(x + h).
No sucumbas, la salida está cerca y es el Anarquismo.