¿Cuales ecuaciones debo tener en cuenta para calcular un viaje de la Tierra a Marte?
Update:
tanto, solo quería saber qué leyes se tenían en cuenta para realizar los cálculos, era una pregunta de la Universidad jajaja.
Besos, los quiero mucho.
Update 3:Perdón, quise decir Dr. Mc Coy, sorry.
Update 5:@@@@ Sí Ricardo, eso dice siempre, pero dudo que un simple programador haya podido armar la empresa que armó y dedicarse a la astronavegación. Creo que él es muy modesto, eso es todo.
Besos.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Yo diría que puedes empezar por tener en cuenta las leyes de Kepler, para poder navegar dentro del Sistema Solar.
(1) Leyes de Kepler
La primera ley es: "Los Planetas se mueven en elipses, con el Sol en uno de los focos". Esto ya lo estamos usando; por ejemplo, la elipse de transferencia es una de esas órbitas.
La segunda ley es: "La línea imaginaria que conecta un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales". Permítasenos intentar extraer de esto una ecuación útil.
Te acabo de enviar por mail un dibujo para mostrarte la órbita de Marte y la elipse de transferencia, con radios (r1, r2) a los puntos de perigeo y apogeo, en los cuales la velocidad de la nave espacial es (V1, V2). Los segmentos cortos que dibujé(Azul) en esas posiciones representan la distancia cubierta por la nave espacial en el siguiente segundo después de pasar el perigeo o el apogeo y, por la definición de velocidad(Rojo) ("distancia por segundo") su valor es igual (en km) al de V1 y V2. En realidad, esos segmentos deberían ser curvos como la órbita pero, siendo tan cortos, difieren de forma insignificante de las líneas rectas.
Completamos entonces los triángulos largos y delgados, que tienen como base esos segmentos(Amarillo).
Fíjate que cada uno de estos triángulos tiene un ángulo recto en la parte inferior, porque en el apogeo y en el perigeo (y en ningún otro lugar), la línea del Sol es perpendicular a la órbita.
En el perigeo, la altura del triángulo es r1, la longitud de su base es V1, entonces por la ecuación para el área A1 de un triángulo A = (1/2) (altura) (base) obtenemos A1 = (1/2) r1 V1 en el apogeo, la altura es r2, la base V2, y el área es A2 = (1/2) r2 V2
Cada uno de estos triángulos es barrido en un segundo, entonces, por la segunda ley de Kepler sus áreas pueden ser consideradas iguales. Multiplicando por 2 ambos lados de esa equivalencia:
r1 V1 = r2 V2 (1)
Numeramos la ecuación para poder referirnos a ella más adelante. Por favor, nota que esta relación solamente se cumple entre el apogeo y el perigeo. En los demás puntos de la órbita el ángulo entre el radio y la órbita no es 90º, y el área también depende del valor exacto de ese ángulo.
La tercera ley de Kepler ya fue usada para determinar el periodo orbital. La necesitaremos nuevamente al final. Luego necesitarás La Ecuación de La Energía: Supongamos la energía E de un satélite de masa m orbitando la Tierra, en cualquier punto de su órbita, es E = (1/2) mV2 – km / r (2) donde r es la distancia al punto desde el centro de la Tierra, V es la velocidad del satélite en ese punto, y k es alguna constante relacionada con la aceleración gravitacional g. Debido a que la energía E se conserva, la expresión de la derecha tiene el mismo valor en cualquier lugar de la órbita. Una relación similar se mantiene para órbitas alrededor del Sol, aunque el valor de k es diferente. Podemos expresar k en ese caso usando un simple truco, basado en la velocidad de escape. Como notamos anteriormente, para que un objeto en la órbita terrestre escape completamente (¡pero justito!) de la órbita del Sol, necesita una velocidad Ve = 1,414V0 = 42,42 km/s (aprox.). Sea E0 la energía de tal objeto. Entonces si Ve2 = 2 V02 obtenemos (en la órbita terrestre) E0 = m V02 − km / r1
Debido a que éste tiene velocidad de escape, si esperamos un largo, largo tiempo, este objeto estará extremadamente lejos de la Tierra y, habiendo agotado prácticamente toda su energía cinética, su velocidad será muy cercana a cero. Entonces ambos términos del lado derecho de la ecuación (2) tienden a cero, sugiriendo E0 = 0 Así que tenemos: m V02 − km / r1 = 0 Dividiendo por m y cambiando el término negativo Ve a la derecha V02 = k / r1 por lo cual el valor de k podría ser escrito k = V02 r1 (3) r1 = 150.000.000 (aprox.) r1 = 149.598 .000 (más precisamente) V0 = 29,785 km/s V02 = 887,163 km/s2 k = 1,32718 1011
(Respuesta de Daniel Bianchini, continuación)....
Cálculos
Una órbita circular alrededor del sol con ese radio tiene un largo de 2 Ï r1 = 938.952.000 km y asumiendo un año Juliano de 365,25 dÃas de 86400 segundos cada uno da V0 = 939.952.000 / [(365.25)(86400)] = 29.785 km/s (En ves de 30 km/s) V02 = 887,163 (km/s)2 k = 1,32818 10<sup11< sup=""> </sup11<> Volviendo ahora a la nave espacial en la órbita de transferencia hacia Marte, su energÃa deberÃa ser la misma en el perigeo P y en el apogeo A, entonces por la ecuación (2) 1/2 m V12 – km / r1 = 1/2 mV22 â km / r2 Dividimos ambos lados por m ("cancelamos m") y multiplicamos ambos lados por 2: V12 â 2 k / r1 = V22 â 2 k / r2 Transfiriendo términos (mediante la adición de las cantidades convenientes en ambos lados) y sustituyendo (3) da V12 â V22 = 2 V02 r1 (1/ r1 â 1/r2) = 2 V02 (1 â (r1/r2)) (4) En unidades astronómicas r1 = 1 r1 = 1,523691 asà pues r1 / r2 = 0,656301 1 – (r1 / r2) = 0,343699 Por lo tanto, tenemos todo lo necesario para calcular el lado derecho de la ecuación (4).
2 V02 (1 – (r1/r2)) = 2 (887,163) (0,343699) = 609,834 (km/s)2
En el lado izquierdo tenemos dos cantidades desconocidas V1 y V2, pero podemos usar la ecuación (1) r1 V1 = r2 V2 para expresar una en términos de la otra. V2 = V1 (r1/r2) (5) Elevando al cuadrado V22 = V12(r12/r2 2) Sustituyendo esto en el lado izquierdo de (4) V12 – V22 = V12 (1 – (r12/r22)) = V12 (1 – (0,656301)2 = 0,569269 V12 = 609,834 (km/s)2
Dividiendo ambos lados entre 0,569269 V12 = 1071,26 (km/s)2 Extrayendo la raÃz cuadrada V1 = 32,730 km/s mostrando que necesitamos adicionar sólo 2,945 km/s, una pizca menos de 3 km/s, ó un 10% de la velocidad orbital.
Llegada a Marte
La velocidad V2 a la cual la nave llega a Marte se encuentra en (5) V2 = V1 (r1 / r2) = (32,730)(0,656301) = 21,481 km/s Ha consignado una parte de su energÃa cinética para contrarrestar la atracción del Sol y moverse alejándose del Sol. La gran pregunta ahora es: ¿cómo queda esta velocidad al compararla con la velocidad V3 de Marte en su órbita? Para obtener velocidades en km/s, las distancias deben estar medidas en kilómetros, y los tiempos en segundos, pero por el bien del “ciudadano de a pie”, dividiremos los cálculos, evitando números grandes y la notación cientÃfica. Comenzamos con la 3er. ley de Kepler para órbitas circulares, con distancia r en AU y periodo orbital T en años. En estas unidades T2 = r3 Para Marte, r = 1,523691, T2 = (1,523691)3 = 3,53745 T = 1,8808 años Asumiendo 365,25 dÃas por año (Juliano): T = 1,8808 años = 686,96 dÃas Durante ese tiempo la nave espacial cubre 2 Ï r = (6,2832) (1,523691) (149,598,000) km = (1432,2) (1.000.000) km Dividiendo por T, se llega a (1432,2 / 686,96) (1.000.000) = (2,08484) (1.000.000) = 2.084.840 km/dÃa Cada dÃa tiene (24)(3600) = 86400 segundos, entonces la distancia orbital cubierta por Marte cada segundo es 2.084.840 / 86.400 = 24,130 km Distancia por segundo es, por supuesto, la definición de velocidad. Por lo tanto V3 = 24,130 km/s Comparando con V2 = 21,481 km/s Vemos que Marte es el que se mueve más rápido, y sobrepasará a la nave espacial. Para igualar velocidades con Marte, la nave debe generar un impulso extra de 2,649 km/s, hora de usar un poco de hidrógeno extra jajaja.
Solo resta desearte buen viaje princesa.
Nota: no elijas mi respuesta, es la de Dany, yo solo le ofrecà mi cuenta para que la terminara, por razones de espacio, no pudimos ser más prolijos.
Encontré esto:
⺠http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler2/... â
Espero que sepas interpretarlo para tus dudas.
Y yo que me quejaba porque no entiendo mi GPS, a cada rato me dice... "RECALCULANDO"
Evidentemente, la navegación espacial no es para mÃ, prefiero el quirófano.
La mejor respuesta, clara y con ejemplos es la Child. Si escojes otra favoreceras a tus amigos.
Que Linda Aldana de tu parte , pero Daniel ha dicho en este espacio varias veces que el no es fÃsico sino programador de computadoras , solo entra y opina porque le gustan estos temas...