¿Problema de aplicación ecuaciones diferenciales?
A un circuito en serie en el cual la resistencia es de 1000 ohms. Y la capacitancia 5x10
-6 F, se le aplica una tensión de 200 v. Calcule la carga del capacitor si i (0)=0.4. Determine la carga y la corriente para t=0.005 seg y la carga cuando t--- ∞
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Hola
R i + (1/C) q = E
(1/C) q + R dq/dt = E
q + (RC) dq/dt = C E
Constante de tiempo RC
R C = 10^3 Ω * 5 * 10^-6 F
R C = 5 * 10^-3 s
*********************
Carga sobre el capacitor para R = 0
Qc = C E = 5 * 10^-6 F * 200 V = 10^-3 C
La ecuación queda
q + (5 * 10^-3 s) dq/dt = 10^-3 C
***************************************
Calcule la carga del capacitor si i (0)=0.4.
io = (dq/dt)o = 0.4
Para el tiempo 0
qo + (5 * 10^-3 s) (dq/dt)o = 10^-3 C
qo + (5 * 10^-3 s) (0.4 A) = 10^-3 C
qo + 2 * 10^-3 C = 10^-3 C
qo = - 10^-3 C
*******************
Solución de ecuación homogenea
q + (5 * 10^-3 s) (dq/dt) = 0
qh = k e^(-t/(5 * 10^-3 s))
solución particular de
q + (5 * 10^-3 s) dq/dt = 10^-3 C
Constante
qp = 10^-3 C
Solución general
q = 10^-3 C + k e^(-t/(5 * 10^-3 s))
cuando t = 0
qo = 10^-3 C + k = -10^-3 C
k = - 2 10^-3 C
q = 10^-3 C + (-2 10^-3 C) e^(-t/(5 * 10^-3 s))
q(t) = 10^-3 C ( 1 - 2 e^(-t/(5 * 10^-3 s))
====================================
Corriente
i = dq/dt = (-2) (-10^-3 C/(5 * 10^-3 s)) e^(-t/(5 * 10^-3 s))
i(t) = (0.4 A) * e^(-t/(5 * 10^-3 s))
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para
t1 = 0.005 s = 5 * 10^-3 s
q(t1) = 10^-3 C (1 - (2/e)) = 0.26 * 10^-3 C
i(t1) = (0.4 A) * e^-1 = 0.15 A
para t -> inf
Lim (q(t) ) = 10^-3 C
Lim (i(t)) = 0
Saludos