Verified answer

1) Ecuación normal de la recta = (x+2y-1) / -√[(1)²+(2)²] = (x+2y-1) / -√5

distancia del vértice a la directriz = ((-2)+2(-1)-1) / -√5 = 5/√5 = √5

distancia del foco F(x,y) al vértice =√[(x-(-2))²+(y-(-1))²] = √[(x+2)²+(y+1)²]

Igualaste las dos expresiones y quedo: √[(x+2)²+(y+1)²] = √5 ⇔ (x+2)²+(y+1)² = 5

Te quedo una ecuación de una circunferencia de centro A(-2,-1) y radio √5

Ahí te trancaste. Hay que usar algo más.

Hay que hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta: x+2y-1=0 que pasa por el punto A.

Luego se intercepta con la circunferencia y hallaras dos soluciones. Una es del foco y la otra es el punto de tangencia de la recta con la circunferencia.

x+2y-1=0 ⇔ 2y= -x+1 ⇔ y= -1/2x+1/2

La pendiente de la perpendicular a la recta: y= -1/2x+1/2 es 2

Ecuación de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto A(-2,-1):

y - (-1) = 2( x - (-2) ) ⇔ y - (-1) = 2( x - (-2) ) ⇔ y+1 = 2(x+2) ⇔ y = 2x+3

El Foco pertenece a esta recta

Interceptamos la recta con la circunferencia

y = 2x+3

(x+2)²+(y+1)² = 5

Resolvemos el sistema:

(x+2)²+(2x+3+1)² = 5 ⇔ (x+2)²+(2x+4)² = 5 ⇔ x²+4x+4+4x²+16x+16 = 5 ⇔ 5x²+20x+15 = 0 ⇔

Dividiendo todo entre 5

x²+4x+3 = 0

x = [ -4 ± √(4² -4(1)(3) ) ] / 2 = [ -4 ± √(16-12 ) ] / 2 = [ -4 ± √4 ] / 2 = [ -4 ± 2 ] / 2

x₁ = [ -4 + 2 ] / 2 = -1

x₂ = [ -4 - 2 ] / 2 = -3

**** Si x=-1 ⇒ y = 2(-1)+3 = 1

vemos si esta en la recta x+2y-1=0

(-1)+2(1)-1=0 ⇔ -1 +2 -1 = 0 ⇔ 0=0 No es el foco es un punto de la recta x+2y-1=0 que es tangente a la circunferencia (x+2)²+(y+1)² = 5

El Foco tiene x=-3

**** Si x=-3 ⇒ y = 2(-3)+3 = -3

************************************

Coordenadas del foco F(-3,-3)

************************************

Sea B(x,y) un punto genérico de la parábola

Usamos que la distancia del punto genérico al foco es igual que la distancia, del genérico al foco ( Definición de parábola )

Distancia del punto genérico de la parábola a la directriz = (x+2y-1) / -√[(1)²+(2)²] = (x+2y-1) / -√5

Distancia del foco al punto genérico de la parábola = √[( x-(-3) )² + ( y-(-3) )²] = √[( x+3 )² + ( y+3 )²]

Igualamos y obtenemos la ecuación de la parábola:

(x+2y-1) / -√5 = √[( x+3 )² + ( y+3 )²] ⇔ 4x² - 4xy + y² + 32x + 34y + 89 = 0

***************************************...

Solución: 4x² - 4xy + y² + 32x + 34y + 89 = 0

***************************************...

2) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse 5x²+7y²=35, perpendicular a la recta 3x+4y-12=0

Sin usar derivadas

Las rectas buscadas son ⊥ a 3x+4y-12=0

Pendiente de 3x+4y-12=0

3x+4y-12=0 ⇔ 4y=-3x+12 ⇔ y=-3/4x+4 pendiente de la perpendicular es -3/4

La tangentes son de la forma y=4/3x+d

Interceptamos la recta: y=4/3x+d con la elipse

5x²+7y²=35

y=4/3x+d

5x²+7(4/3x+d)²=35 ⇔ 5x²+7(16/9x²+8/3dx+d²)=35 ⇔ 5x²+112/9x²+56/3dx+7d²=35 ⇔

Común denominador 9

45/9x²+112/9x²+168/9dx+63/9d²=315/9 ⇔ 45x²+112x²+168dx+63d²=315 ⇔

157x²+168dx+63d²-315=0

x = [ -168d ± √( (168d)² -4(157)(63d²-315) ) ] / (2*157)

Si la recta es tangente a la elipse el discriminante debe valer 0

Resolvemos: ( (168d)² -4(157)(63d²-315) ) = 0

( (168d)² -4(157)(63d²-315) ) = 0 ⇔ 28224d² - 39564d²+197820=0 ⇔ - 11340d²+197820=0 ⇔

d²=-197820 / (-11340) ⇔ d² = 157 / 9 ⇔ d = ±√(157 / 9) = ±√157 / 3

*******************************************

Soluciones:

y=4/3x+√157 / 3 ⇔ -4x+3y-√157=0

y=4/3x-√157 / 3 ⇔ -4x+3y+√157=0

******************************************

Me encantaría darte una respuesta concisa, pero la verdad ni idea.

Hola

Dado el vertice de la parabola A(-2,-1) y la ecuacion de su directriz X+2Y-1=0, halla la ecuacion de la parabola.

Distancia D1 desde punto A

D1^2 = (x + 2)^2 + (y + 1)^2

Distancia D2 desde directriz x + 2 y - 1 = 0

D2 = abs(x + 2 y - 1)/√(1^2 + 2^2)

D2 = abs(x + 2 y - 1)/√5

Igualdad de distancias

D1 = D2

D1^2 = D2^2

(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = (1/5) (x + 2 y + 1)^2

*************

*Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse 5x²+7y²=35,

perpendicular a la recta 3x+4y-12=0

derivada implícita

5 (2 x dx) + 7 (2 y dy) = 0

7 y dy = - 5 x dx

Pendiente de la recta tangente (derivada)

y' = dy/dx = - (5/7) (x/y)

La recta dada equivale a

4 y = - 3 x + 12

y = (-3/4) x + 3

Pendiente

m = -3/4

Pendiente de normal

m1 = -1/m = 4/3

Entonces

y' = dy/dx = - (5/7) (x/y) = 4/3

Deducimos

x/y = (4/3) (-7/5)

x/y = -28/15

x = (-28/15) y

remplazamos en

5 x^2 + 7 y^2 = 35

5 ((-28/15) y)^2 + 7 y^2 = 35

5 (28*28/225) y^2 + 7 y^2 = 35

(28*28/45) y^2 + 7 y^2 = 35

simplificamos 7

(28*4/45) y^2 + y^2 = 5

(112/45) y^2 + (45/45) y^2 = 5

(157/45) y^2 = 5

y^2 = 5*45/157

y^2 = 225/157

Punto de tangencia

yo = +/- 15 (1/√(157))

xo = -/+ 28 (1/√(157))

recta tangente a la elipse

5 x xo + 7 y yo = 35

Recta tangente 1

5 x (-28 (1/√(157))) + 7 y (15 (1/√(157))) = 35

simplificamos 35

(-4 x) (1/√(157))) + (3 y ) (1/√(157))) = 1

4 x - 3 y = -√(157)

**********

Recta tangente 2

5 x (28 (1/√(157))) + 7 y (-15 (1/√(157))) = 35

simplificamos 35

(4 x) (1/√(157))) - (3 y ) (1/√(157))) = 1

4 x - 3 y = √(157)

**********

Verificado con Graphmatica