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Hola

El concepto que se usa para calcular la recta tangente

es el del ángulo Φ entre el ángulo de la recta tangente

y el ángulo φ de la curva.

Entonces, tenemos

tan(Φ) = r (dφ/dr)

para la función r función de φ

r = r(φ)

En el caso del círculo en polares,

la ecuación es

r = cte

así que

dr = 0

Esto nos indica que

tan(Φ) = r (dφ/dr) -> ∞

y deducimos

Φ = 90º

Ángulo de la recta tangente

φ + Φ = φ + 90º

Esto expresa el resultado clásico

de que la tangente a un círculo es perpendicular al radio.

Pendiente de la recta tangente

mT = tan(φ + Φ) = tan(φ + 90º) = -1/tan(φ)

Ecuación de la recta tangente

En cartesianas

y = yo + mT (x - xo)

ó en polares

r sen(φ) = ro sen(φo) - (1/tan(φo)) (r cos(φ) - ro cos(φo))

r sen(φ) = ro sen(φo) - (1/tan(φo)) r cos(φ) + ro cos(φo)/tan(φo)

r sen(φ) = ro sen(φo) + ro cos^2(φo)/sen(φo) -

- (cos(φo)/sen(φo)) r cos(φ)

r sen(φ) - (cos(φo)/sen(φo)) r cos(φ) =

= ro sen^2(φo)/sen(φo) + ro cos^2(φo)/sen(φo)

r (sen(φ) sen(φo) - cos(φ) cos(φo))/sen(φo) = ro/sen(φo)

Escamoteamos signos (r > 0) y queda

Ecuación de la tangente

r = ro/cos(φ - φo)

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Pendiente de la recta normal

mN = tan(φ + Φ + 90º) = tan(φ + 90º + 90º) = tan(φ + 180º) = tan(φ)

Ecuación de la recta normal

En cartesianas

y = yo + mN (x - xo)

ó en polares

r sen(φ) = ro sen(φo) + (tan(φo)) (r cos(φ) - ro cos(φo))

r sen(φ) = ro sen(φo) + (tan(φo)) r cos(φ) - ro cos(φo) tan(φo)

r sen(φ) = ro sen(φo) - ro sen(φo) + tan(φo) r cos(φ)

r sen(φ) = tan(φo) r cos(φ)

tan(φ) = tan(φo)

Ecuación de la normal

φ = φo

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