¿ayuda con problema de polinomio de taylor para final de calculo I ?
hola, necesito ayuda para resolver el siguiente problema:
aproxime f(x)=(x)^(1/2) mediante un polinomio de Taylor centrado en X=1 con error <0,001 para | X-1|<0,1
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Hola
f(x) = x^(1/2)
Derivamos
f'(x) = (1/2) x^(-1/2)
f''(x) = (1/2) (-1/2) x^(-3/2)
f'''(x) = (1/2) (-1/2) (-3/2) x^(-5/2)
f''''(x) = (1/2) (-1/2) (-3/2) (-5/2) x^(-7/2)
etc.
Para x = 1
f(1) = 1
f'(1) = (1/2)
f''(1) = (1/2) (-1/2)
f'''(1) = (1/2) (-1/2) (-3/2)
f''''(1) = (1/2) (-1/2) (-3/2) (-5/2)
etc
f(x) = 1 + (1/2) (x - 1) + (1/2) (1/2) (-1/2) (x - 1)^2 +
+ (1/6) (1/2) (-1/2) (-3/2) (x - 1)^3 +
+ (1/24) (1/2) (-1/2) (-3/2) (-5/2) (x - 1)^4 +
etc
f(x) = 1 + (1/2) (x - 1) - (1/8) (x - 1)^2 +
+ (3/48) (x - 1)^3 +
- (15/768) (x - 1)^4 +
etc
Desarrollo verificado con Excel.
Error
Para | X - 1| < 0,1
|X - 1|^3 < 0,001
(3/48) |X - 1|^3 < 0,00006
El error en el polinomio de Taylor
es menor al primer término descartado,
así que alcanza con
f(x) = 1 + (1/2) (x - 1) - (1/8) (x - 1)^2
para que el error < 0.001
con | x - 1| < 0,1
Saludos