¿Ayuda con demostración de limite!?
Hola a todos! Bueno tengo un ejercicio muy particular el cual no he podido resolver desde hace dias y necesito resolverlo como trabajo. El problema dice asi: Sean f y g funciones de dos variables que satisfacen las condiciones:
1. f(tx,ty) = t^n f(x,y) & g(tx,ty) = t^n g(x,y) ; Para toda t en R y algun n en Z+.
2. g(1,0) != 0 y g(1,1) != 0
3. g(1,1) * f(1,0) != g(1,0) * f(1,1)
Demostrar que:
lim (x,y) -> (0,0) { f(x,y) / g(x,y) } no existe.
Mi profesor me dio una pista de que se resuelve por trayectorias pero la verdad ya he intentado y no doy con la demostración. Gracias de antemano
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Hola.
Para toda t en R y algun n en Z+.
1. f(tx,ty) = t^n f(x,y) & g(tx,ty) = t^n g(x,y)
Funciones homogeneas f;g de grado n
2. g(1,0) ≠ 0 ; g(1,1) ≠ 0
3. g(1,1) * f(1,0) ≠ g(1,0) * f(1,1)
Por 2. podemos pasar dividiendo
g(1,0) ; g(1,1)
a los otros miembros.
Deducimos la desigualdad
4. f(1,0) / g(1,0) ≠ f(1,1) / g(1,1)
Para demostrar que no hay límite
debemos demostrar que,
por 2 caminos distintos,
se llega a dos resultados distintos.
Primer camino para llegar al origen
Línea recta desde el origen (0,0) a (1,1)
Ecuación paramétrica
x = t ; y = t
Entonces
f(t,t) = t^1 f(1,1)
f(t,t) = t f(1,1)
g(t,t) = t^1 g(1,1)
g(t,t) = t g(1,1)
Lim [(1,1)->(0,0)] (f(t,t)/g(t,t)) =
= Lim [(1,1)->(0,0)] ( (t f(1,1))/(t g(1,1)) )
Simplificamos t
Lim [(1,1)->(0,0)] (f(t,t)/g(t,t)) =
= Lim [(1,1)->(0,0)] ( f(1,1)/(g(1,1) )
Como quedan constantes
5) Lim [(1,1)->(0,0)] (f(t,t)/g(t,t)) = f(1,1)/(g(1,1)
***************
Segundo camino
a) Línea recta desde el origen(0,0) a (1,0)
Ecuación paramétrica
x = t ; y = 0
Entonces
f(t,0) = t^1 f(1,0)
f(t,0) = t f(1,0)
g(t,0) = t^1 g(1,0)
g(t,0) = t g(1,0)
Lim [(1,0)->(0,0)] (f(t,0)/g(t,0)) =
= Lim [(1,0)->(0,0)] ( (t f(1,0))/(t g(1,0)) )
Simplificamos t
Lim [(1,0)->(0,0)] (f(t,0)/g(t,0)) =
= Lim [(1,0)->(0,0)] ( f(1,0)/g(1,0) )
Como quedan constantes
6) Lim [(1,0)->(0,0)] (f(t,0)/g(t,0)) = f(1,0)/g(1,0)
***************
Por 4)
5) y 6) son distintos.
Entonces, tenemos 2 límites distintos
por 2 caminos al origen distintos
Entonces, NO existe el límite a secas
del cociente de f y g
cuando ambas coordenadas tienden al origen.
Saludos.
Feliz miercoles.
Si
Go