¿AYUDA CON CURVAS DE NIVEL: Dada la unción de producción Q(X,Y) = x^αy^β , α,β>0, siendo x, y>0, se pide:?
a) Obtener la expresión de las curvas de nivel de la función de producción.
b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento, la concavidad y convexidad de las curvas de nivel para α y β = 1.
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Hola
Q(x,y) = x^α y^β
a)
Curvas de nivel
x^α y^β = cte
ó
α ln(x) + β ln(y) = cte
b)
x y = cte
Se trata de una hipérbola equilátera
cuando la constante no es nula.
Tres estudios
Primero
Para cte < 0
y = -k/x
y' = k/x^2
Existencia de x Reales menos 0
Existencia de y Reales menos 0
La función es siempre creciente relativa
por tener siempre positiva la derivada.
Observemos que hay discontinuidad en x = 0
Eso explica que la función, a pesar de ser siempre creciente relativa,
es mayor en la parte negativa que en la parte positiva de las x
es decir
Parte negativa
-x1 < -x2
y1 < y2
Parte positiva
x1 < x2
y1 < y2
Ambas partes
-x1 < x2
y1 > y2
Segundo
Para cte > 0
y = k/x
y' = -k/x^2
Existencia de x Reales menos 0
Existencia de y Reales menos 0
La función es siempre decreciente relativa
por tener siempre negativa la derivada.
Observemos que hay discontinuidad en x = 0
Eso explica que la función, a pesar de ser siempre decreciente relativa,
es menor en la parte negativa que en la parte positiva de las x
es decir
Parte negativa
-x1 < -x2
y1 > y2
Parte positiva
x1 < x2
y1 > y2
Ambas partes
-x1 < x2
y1 < y2
Tercera parte
cte = 0
x * y = 0
única solución, los ejes coordenados
Existencia de x Reales (con y = 0)
Existencia de y Reales (con x = 0)
Saludos