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Tenemos una funcion partida definida como:

.........{ 1 ..... si x es racional

D(x) =.{ 0 ..... si x es irracional

(conocida como la funcion de Dirichlet)

Totemos una particion del intervalo [0,1] (por tomar un intervalo cualquiera, se generaliza facil), Π = { x₀ , x₁ , x₂ , ... x_n } donde x₀= 0 y x_n= 1. Si definimos "M_i" como el maximo que toma la funcion en un intervalo definido por dos puntos contiguos de la particion:

M_i = max { D(x) / x∈[ x_i ,x_(i+1) }

Se ve que:

M_i = sup { 0 ,1 } = 1

En otras palabras, la funcion tiene como cota superior al 1 (obviamente). De hecho es el mismo M_i para cada par de puntos, por lo que podemos obviar el subindice "i" y decir que siempre tendremos un "M"

Calculemos la suma superior (recordar que si una funcion es integrable Riemann, entonces la suma superior y la inferior convergen):

Sum Sup = ∑ M_i [ x_(i+1) - x_i ]

(la suma va desde i=0 hasta i=1, es decir barre toda la particion). Ya sabemos que M=1 para todos los "i":

Sum Sup = ∑ [ x_(i+1) - x_i ]

Y esta serie es la famosa telescopica, por lo que nos queda solamente el termino x₀= 0 y la resta del termino x_n = 1. Entonces

Sum Sup = 1

Hagamos lo mismo para la suma inferior. Definimos el minimo de la funcion en intervalo de la particion:

m_i = min { D(x) / x∈[ x_i ,x_(i+1) }

Misma idea, como la funcion toma valores en esos puntos, puedo reemplazar por el infimo; que siempre va a ser cero (sin importar los puntos de la particion):

m_i = m = 0

Si ahora calculo la suma inferior:

Sum Inf = ∑ m_i [ x_(i+1) - x_i ]

que es claramente cero (m=0)

Sum Inf = 0

Como siempre, vale que Sum Inf ≤ Sum Sup (porque 0 < 1), pero en este caso no se da la igualdad. Justamente esa igualdad es la que define a la integral Riemann que uno comunmente usa. Al no cumplirse se dice que la funcion no es integrable Riemann (hay otras integrales donde sí lo es).

Espero que te sirva.

Un saludo.

Bueno, te voy a mostrar que la función l NO es integrable según Riemman en cuanlquier intervalo [a, b].

Con ese fin tomas una partición

a = xo < x1 < ... < xn = b

del intervalo

[a, b]

y las sumas de Riemman:

l(t1)(x1 - xo) + l(t2)(x2 - x1) + ... + l(tn)(xn - x(n - 1))

con tk є (t(k - 1), tk) para cada k = 1, 2, ... , n

En todo intervalo de longitud mayor que cero hay infinitos racionales como irracionales, así que en cada intervalo

(x(k - 1), xk)

hay racionales e irracionales.

Si tomas tk є (t(k - 1), tk) como un número racional, entonces la suma de Riemman resulta:

l(t1)(x1 - xo) + l(t2)(x2 - x1) + ... + l(tn)(xn - x(n - 1)) = 1(x1 - xo) + 1(x2 - x1) + ... + 1(xn - x(n - 1)) =

(x1 - xo) + (x2 - x1) + ... + (xn - x(n - 1)) = xn - xo = b - a > 0

Pero si tomas tkє (t(k - 1), tk) como un número irracional, entonces la suma de Riemman resulta:

l(t1)(x1 - xo) + l(t2)(x2 - x1) + ... + l(tn)(xn - x(n - 1)) = 0(x1 - xo) + 0(x2 - x1) + ... + 0(xn - x(n - 1)) = 0

y las sumas de Riemman no convergen, sin importar la partición que tomes, siempre el máximo de las sumas de Riemman será igual a

b - a > 0,

si tk es racional

y a

0,

si los términos tk son irracionales.

Ahora, sé anarquista.