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Hola

Te has expresado bastante bien.

Propiedades de la matriz traspuesta

...Idempotencia

1) (A^t)^t = A

...Con respecto al producto escalar

2) (A * B)^t = B^t * A^t

Demuestre que:

Para cualquier matriz A

la matriz producto

P = A * A^t

está definido

y es una matriz cuadrada simetrica

Demostremos que P está definida

A : n filas x m columnas

A^t: m filas x n columnas

P = A * A^t está definida porque

A tiene m columnas

A^t tiene m filas

Además

P = A * A^t es cuadrada con

n filas x n columnas

Ahora, la simetría

Una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta

X es simétrica si X = X^t

En este caso

P^t = (A * A^t)^t

De acuerdo a 2)

P^t = (A^t)^t * (A)^t

De acuerdo a 1)

P^t = A * A^t

Entonces

P = P^t = A * A^t

Entonces

P es simétrica

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