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(n+2)! - (n+1)!

------------------- = 25

n(n-1)!

(n+2).(n+1).n.(n-1)! - (n+1).n(n-1)!

--------------------------------------------- = 25

n(n-1)!

n(n-1)!.[(n+2).(n+1) - (n+1)

----------------------------------- = 25

n(n-1)!

(n+2).(n+1) - (n+1) = 25

n²+3n+2 -n -1 -25 = 0

n² + 2n - 24= 0

Δ=b²-4.a.c =4+96=100 => √Δ=10

n =(-b+√Δ)/2a = (-2+10)/2 = (8)/2 = 4

testando: (n=4)

(n+2)! - (n+1)! / n(n-1)! = 25

(6)! - (5)! / 4.(3!) = 25

720-120/4.6 = 25

600/24 = 25

25 = 25 ....=> OK

Vamo por a galera aí em evidência. Esses exercícios quase sempre são apenas para ir simplificando e, de repente, cortar o que aparecer. Fatorial então, meio que gritam para a gente transformar (n+2)! em (n+2)*(n+1)*n!

Vejamos:

(n+2)! = (n+2)*(n+1)*n*(n-1)!

(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)!

Então:

[(n+2)! - (n+1)!] / n(n-1)! = [(n+2)*(n+1)*n*(n-1)! - (n+1)*n*(n-1)!] / n(n-1)!

Agora você pode "cortar" o n*(n-1)!

Então terá:

(n+2)*(n+1) - (n+1) = 25

Agora é só simplificar, vai cair numa equação de segundo grau:

n²+2n+n+2-n+1=25

n²+2n+3=25

Cn,2 = n!/2!(n-2)!=n(n-1)(n-2)!/2(n-2)! = n(n-1)/2

Cn+1,n-1= (n+1)!/(n-1)!(2!)=n(n+1)/2

S = 25

n(n-1)/2 + n(n+1)/2 = 25

n(2n) = 50

2 n² = 50

n² = 50/2 = 25

n = 5

ou n = -5

Só que n = -5 não é valido, pois não pertence aos naturais.

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Simplificando fatoriais:

n!/(n-2)! = n x (n-1) x (n-2)! /(n-2)! = n x (n-1)

Você vai desenvolver o maior fatorial até conseguir simplificá-lo com o menor.

(n+1)!/n!(n-1)! = (n+1) x n x (n-1)! / n! (n-1!)=n(n+1)/n!=(n+1)/(n-1)!