Hola

Comparamos con

P dx + Q dy = 0

P = - 2 x y - 3 y

Q = x^2 + 3 x

∂P/∂y = -2 x - 3

∂Q/∂x = 2 x + 3

Ajá.

Si fuera

(x^2 + 3 x) dy + y (2 x + 3) dx = 0

sería una ecuación exacta de solución

d( x^2 y + 3 x y) = 0

x^2 y + 3 x y = K

ó

(x (x + 3)) y = K

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Ahora suponemos al signo "-" como correcto

(x^2 + 3 x) dy - y (2 x + 3) dx = 0

∂P/∂y = -2 x - 3

∂Q/∂x = 2 x + 3

Suponemos el factor integrante como función de x solamente.

(1/μ) ∂μ/∂x = (1/Q) ( (∂P/∂y) - (∂Q/∂x) )

(1/μ) dμ/dx = (1//x^2 + 3 x) ( -4 x - 6)

d(ln(μ))/dx = -2 (2 x + 3)/( x(x + 3))

d(ln(μ))/dx = -2 ((x) + (x + 3))/( x(x + 3))

d(ln(μ))/dx = -2 (1/x) - 2 (1/(x + 3))

queda, con constante de integración nula

ln(μ) = - 2 ln(x) - 2 ln(x + 3)

ln(μ) = ln( 1/(x^2 (x + 3)^2) )

μ = 1/(x^2 (x + 3)^2)

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Así que la ecuación original se transforma en

(x(x + 3)/(x^2 (x + 3)^2)) dy - (y (2 x + 3)/(x^2 (x + 3)^2)) dx = 0

(1/(x (x + 3)) dy - y ( (2 x + 3)/(x (x + 3))^2) ) dx = 0

(1/(x (x + 3)) dy + y (d (1/(x (x + 3)) ) = 0

con integral

d ( y/(x (x + 3)) = 0

y/(x (x + 3)) = K

y = K x (x + 3)

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Apreciemos la simetría de las 2 soluciones encontradas

con ecuaciones diferentes en 1 signo "-"

****** ******* madre

No olvides elegir una respuesta como la mejor,

así agradecemos a los colaboradores y usuarios

que se preocuparon por responder tus preguntas.

ll//

(x^2+3x)dy - y(2x+3)dx = 0

separa x e y con su correspondiente diferencial

(x^2 + 3x) dy = y (2x + 3) dx

dy (1/y) = (2x + 3)/(x^2 + 3x) dx

Integras cada miembro

∫ (1/y) dx = ∫ (2x + 3)/(x^2 + 3x) dx

integra x por sustitución

ln (y) + C₁ = ln ( (x)(x + 3) ) + C₂

Operamos las constantes y dejamos una sola.

ln (y) = ln ( (x)(x + 3) ) + C

C en forma de ln

ln (y) = ln ( (x)(x + 3) ) + ln e^C

ln (y) = ln ( (x)(x + 3) e^C )

y = (x)(x + 3) e^C

e^C sigue siendo una constante

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y = (x^2 + 3x) C <----------------

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