Das steht doch nicht im Zusammenhang. Kaffeetassen repariere ich auch nicht. Die schmeiße ich in den Müll, wenn sie kaputt sind.

Das ist mir alles viel zu theoretisch! Deshalb nehme ich nur noch Becher..... Und fliegen muß ich nicht unbedingt.

Ersetze einfach die Begriffe

Vollkugel durch Vollhorst

m-dimensionale Mannigfaltigkeit durch Macho Men

Ankleben und Einbettung durch Imbusschlüsselverschraubung

und du hast eine IKEA-Bauanleitung.

Die versteht jeder.

Reparatur?

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Henkel-Zerlegung

Jede kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit besitzt eine Henkel-Zerlegung.

Der Beweis dieses Satzes benutzt Morse-Theorie. Zu jeder differenzierteren Mannigfaltigkeit M {\displaystyle M} M gibt es eine Morsefunktion f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } f\colon M\to\R, deren kritische Punkte unterschiedlichen Funktionswerten entsprechen (und nicht auf dem Rand liegen). Der Satz folgt dann mittels vollständiger Induktion aus folgender lokalen Beschreibung der Umgebung eines kritischen Punktes.

Es sei f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } f\colon M\to\R eine C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} C^{\infty }-Funktion mit genau einem kritischen Punkt in f − 1 ( 0 ) {\displaystyle f^{-1}(0)} f^{-1}(0) und keinen weiteren kritischen Punkten in f − 1 ( [ − ϵ , ϵ ] ) {\displaystyle f^{-1}(\left[-\epsilon ,\epsilon \right])} {\displaystyle f^{-1}(\left[-\epsilon ,\epsilon \right])} (für ein geeignetes ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} \epsilon >0). Dann entsteht f − 1 ( [ − ∞ , ϵ ] ) {\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])} {\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])} aus f − 1 ( [ − ∞ , − ϵ ] ) {\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])} {\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])} durch Ankleben eines k {\displaystyle k} k-Henkels, wobei k {\displaystyle k} k der Index des kritischen Punktes in f − 1 ( 0 ) {\displaystyle f^{-1}(0)} f^{-1}(0) ist.

Dieser Satz geht auf Stephen Smale zurück, der 1961 einen Beweis skizzierte und die Henkel-Zerlegung dann zum Beweis der Poincaré-Vermutung in Dimensionen ≥ 5 {\displaystyle \geq 5} \geq 5 benutzte.[2] John Milnor bewies in seinem Buch "Morse Theory" eine schwächere Version, die besagt, dass f − 1 ( [ − ∞ , ϵ ] ) {\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])} {\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])} homotopieäquivalent zu dem aus f − 1 ( [ − ∞ , − ϵ ] ) {\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])} {\displaystyle f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])} durch Ankleben einer k-Zelle entstehenden Raum ist.[3] Ein vollständiger Beweis wurde 1963 von Palais gegeben[4], vereinfachte Fassungen finden sich bei Fukui[5] und Madsen-Tornehave[6].

Niedrigdimensionale Beispiele

Klassifikation der Flächen: Jede geschlossene, orientierbare Fläche besitzt eine Henkelzerlegung aus einem 0-Henkel, 2 g {\displaystyle 2g} 2g 1-Henkeln und einem 2-Henkel. Die Zahl g {\displaystyle g} g ist das Geschlecht der Fläche.

Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten: Ein (3-dimensionaler) Henkelkörper vom Geschlecht g {\displaystyle g} g entsteht durch Ankleben von g {\displaystyle g} g 1-Henkeln an einen 0-Henkel. Als Heegaard-Zerlegung bezeichnet man die Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in zwei Henkelkörper. Jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit besitzt eine Heegaard-Zerlegung, das minimal mögliche g {\displaystyle g} g wird als Heegaard-Geschlecht bezeichnet. Eine Heegaard-Zerlegung bestimmt eine Henkelzerlegung der 3-Mannigfaltigkeit in einen 0-Henkel, g {\displaystyle g} g 1-Henkel, g {\displaystyle g} g 2-Henkel und einen 3-Henkel.

Kirby-Kalkül: Henkelzerlegungen 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten werden durch Kirby-Diagramme beschrieben.

Relative Henkel-Zerlegung

Es sei M {\displaystyle M} M eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Zerlegung des Randes ∂ M {\displaystyle \partial M} \partial M in (möglicherweise leere) Teilmengen

∂ M = ∂ + M ⊔ ∂ − M {\displaystyle \partial M=\partial _{+}M\sqcup \partial _{-}M} {\displaystyle \partial M=\partial _{+}M\sqcup \partial _{-}M}.

Eine Henkelzerlegung von M {\displaystyle M} M relativ zu ∂ − M {\displaystyle \partial _{-}M} {\displaystyle \partial _{-}M} ist eine Darstellung von M {\displaystyle M} M als durch sukzessives Ankleben von Henkeln an ∂ − M × [ 0 , 1 ] {\displaystyle \partial _{-}M\times \left[0,1\right]} {\displaystyle \partial _{-}M\times \left[0,1\right]} konstruierte Mannigfaltigkeit. Mittels Morse-Theorie kann man zeigen, dass es zu jedem solchen Paar ( M , ∂ − M ) {\displaystyle (M,\partial _{-}M)} {\displaystyle (M,\partial _{-}M)} eine Henkelzerlegung von M {\displaystyle M} M relativ zu ∂ − M {\displaystyle \partial _{-}M} {\displaystyle \partial _{-}M} gibt.[7]

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weiterhin:

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Henkel-Gleiten

Die Mannigfaltigkeit M ′ {\displaystyle M^{\prime }} M^{\prime } entstehe aus M {\displaystyle M} M durch Ankleben eines k {\displaystyle k} k-Henkels mittels der Anklebe-Abbildung ϕ : S k − 1 × B m − k → ∂ M {\displaystyle \phi \colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M} {\displaystyle \phi \colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M}. Es sei h : M × [ 0 , 1 ] → M {\displaystyle h\colon M\times \left[0,1\right]\to M} {\displaystyle h\colon M\times \left[0,1\right]\to M} eine Isotopie mit h 0 = i d {\displaystyle h_{0}=id} {\displaystyle h_{0}=id} und h := h 1 {\displaystyle h:=h_{1}} {\displaystyle h:=h_{1}}. Dann ist die durch Ankleben eines k {\displaystyle k} k-Henkels an M {\displaystyle M} M mittels der Verklebeabbildung h ∘ ϕ {\displaystyle h\circ \phi } {\displaystyle h\circ \phi } konstruierte Mannigfaltigkeit M ′ ′ {\displaystyle M^{\prime \prime }} M^{{\prime \prime }} diffeomorph zu M ′ {\displaystyle M^{\prime }} M^{\prime }.

Insbesondere kann man einen k {\displaystyle k} k-Henkel stets so ankleben, dass seine Anklebesphäre disjunkt von den Gürtelsphären aller l {\displaystyle l} l-Henkel mit l ≥ k {\displaystyle l\geq k} {\displaystyle l\geq k} ist. Als Folgerung daraus kann man für jede kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Henkelzerlegung so konstruieren, dass Henkel in aufsteigender Folge ihrer Indizes an eine Menge von 0 {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}-Henkeln angeklebt werden, d. h. für l ≥ k {\displaystyle l\geq k} {\displaystyle l\geq k} werden die l {\displaystyle l} l-Henkel nach den k {\displaystyle k} k-Henkeln angeklebt.

Komplementäre Henkel

Ein k {\displaystyle k} k-Henkel und ein ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} (k+1)-Henkel heißen komplementär, wenn die Anklebesphäre des ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} (k+1)-Henkels die Gürtelsphäre des k {\displaystyle k} k-Henkels in genau einem Punkt transversal schneidet.

Wenn eine Mannigfaltigkeit M ′ {\displaystyle M^{\prime }} M^{\prime } aus einer Mannigfaltigkeit M {\displaystyle M} M durch Ankleben eines k {\displaystyle k} k-Henkels und anschließendes Ankleben eines zu diesem komplementären ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} (k+1)-Henkels entsteht, dann ist M ′ {\displaystyle M^{\prime }} M^{\prime } diffeomorph zu M {\displaystyle M} M. Als Folgerung daraus kann man eine Henkel-Zerlegung stets so wählen, dass es genau einen 0-Henkel gibt und weiterhin, falls ∂ M = ∅ {\displaystyle \partial M=\emptyset } {\displaystyle \partial M=\emptyset } bzw. ∂ M ≠ ∅ {\displaystyle \partial M\not =\emptyset } {\displaystyle \partial M\not =\emptyset } so dass es genau einen bzw. keinen m {\displaystyle m} m-Henkel mit m = d i m ( M ) {\displaystyle m=dim(M)} {\displaystyle m=dim(M)} gibt.

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Ist doch easy. :)

Alles, was mit Willy Brandt - und sei es nur im Namen - zu tun hat, ist verflucht.