Hola

x' = (1 - x^2 + y^2)/y^2

y' = -2 x / y

Identificamos

f(x,y) = (1 - x^2 + y^2)/y^2 = y^(-2) - (x^2/y^2) + 1

g(x,y) = - 2 x / y

Veamos si el sistema admite Hamiltoniano

para lo cual se debe cumplir

∂f/∂x = - ∂g/∂y

Calculamos

∂f/∂x = - 2 x/y^2

∂g/∂y = -2 (-1) x/y^2 = 2 x/y^2

Efectivamente, se cumple la igualdad

así que existe el hamiltoniano que cumple

a) ∂H/∂y = f = y^(-2) - (x^2/y^2) + 1

b) ∂H/∂x = -g = - (-2 x / y) = 2 x / y

Integramos b),

recordamos que la "constante de integración"

se plantea como función de y, V(y)

por ser nula la derivada parcial

∂(V(y))/∂x

b')

H(x,y) = x^2/y + V(y)

************

Remplazamos en a)

para averiguar V(y)

a)

∂H/∂y = - x^2/y^2 + V'(y) = y^(-2) - (x^2/y^2) + 1

Efectivamente, obtenemos V'(y) sólo en función de y

verificando que existe el hamiltoniano.

Ahora, con derivada total se cumple

V'(y) = dV/dy = y^(-2) + 1

Integramos, ahora con constante de integración

V(y) = (1/(-2+1)) y^((-2)+1) + y + C

V(y) = - (1/y) + y + C

El hamiltoniano resulta

H(x,y) = (x^2/y) - (1/y) + y + C

****************

Verificamos las derivadas cruzadas

a)

∂H/∂y = -(x^2/y^2) + (y^(-2)) + 1

f = y^(-2) - (x^2/y^2) + 1

b) ∂H/∂x = 2 x / y

-g = - (-2 x / y) = 2 x / y

Saludos

Eso lo puede responder el emérito alma mater Carlos L

si el no te ayuda es porque no quiere. está las 24 hs en yahoo