Le théorème des nombres premiers dit que le nombre de premiers inférieur à n est équivalent à n/ln(n).
Ou, dit autrement, que la valeur du nième nombre premier est un équivalent de n*ln(n).
Donc le nombre de premiers à k chiffre est quelque part de l'ordre de 10^k/k - 10^(k-1)/(k-1) = (k-1)*10*10^(k-1)/(k*(k-1)) - k*10^(k-1)/(k*(k-1)) = 10^(k-1)/(k*(k-1)) * (10k-10-k)
Ce qui est un équivalent de 9*10^(k-1)/k²
Clairement, le nombre de premiers de k chiffre tend donc vers l'infini quand k tend vers l'infini.
Comme il y a 9*10^(k-1) nombre de k chiffres, la probabilité qu'un nombre de k chiffres soit premier est un équivalent de [9*10^(k-1)/k²] / [9*10^(k-1)] = 1/k²
Donc la probabilité qu'un nombre de k chiffres NE soit PAS premier est de l'ordre de 1-1/k²
La probabilité qu'il n'y ait aucun nombre premier de k chiffres est donc de l'ordre de (1-1/k²)^(9*10^(k-1)) (probabilité qu'aucun des 9*10^(k-1) nombre de k chiffres soit premier).
Juste pour éviter de me trimballer une formule compliquée, et parce que le majorant est très largement suffisant, je note que c'est clairement inférieur (passé un k suffisamment grand) à exp(-k)
(Vraiment, vraiment, vraiment très inférieur).
Ce qui signifie que si je considère la suite Pk des probabilité de n'avoir aucun nombre premier de k chiffres, cette suite est très largement majorée par la suite Qk=exp(-k)
Si je considère donc maintenant la série associée, elle est donc elle aussi très très largement majorée par la série "somme des exp(-k)".
Or on sait que le reste de cette série est donc exp(-n-1)/(1-1/e)
En d'autres termes, la somme des probabilités "il n'existe pas de premiers à k chiffres" pour k>n est très très très largement majorée par exp(-n-1)/(1-1/e).
Si on s'intéresse maintenant à la probabilité que "il existe un k>=n, tel qu'il n'existe pas de premiers à k chiffres" (dit autrement : soit il n'existe pas de premiers à k chiffres, soit il n'existe pas de premiers à k+1 chiffres, soit, etc jusqu'à l'infini), on voit que cette probabilité est très clairement inférieure à la somme des probabilité "il n'existe pas de premiers à k chiffres"
(Parce que "probabilité de A ou B" est inférieure à probabilité de A + probabilité de B).
Donc, la probabilité de trouver un seul k>n tel que "il n'existe pas de premiers à k chiffres" est très très très très (oui, j'ai ajouté un "très", puisque j'ai encore pris un majorant grossier) inférieure au reste exp(-n-1)/(1-1/e).
Au passage, puisque exp(-1)/(1-1/e) = 1/e / (1-1/e) <1 (puisque 1/e est plus petit que 1-1/e), je peux encore majorer pour simplifier l'écriture - ça me suffit toujours), et ajouter un "très" :
La probabilité de trouver un seul k>n tel que il n'existe pas de premiers à k chiffres est très très très très très largement inférieure à exp(-n) - ce qui est le terme de la série.
Dit autrement encore : la probabilité de trouver un k>n tel qu'il n'y ait pas de premiers de k chiffres est largement inférieure à la probabilité que ce soit vrai pour k=n !!
On sait déjà qu'il y a des premiers à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc chiffres.
Or, ma série vous montre que la probabilité de trouver n'importe quel chiffre supérieur à 8 pour lequel il n'y aurait pas de premiers est énormément inférieure à la probabilité que ce soit vrai pour juste 8.
De façon terre à terre, ce que ça veut dire mes chiffres c'est!:
Il est plus "impossible" d'avoir un nombre k de chiffres sans premiers dans tous les nombres plus grand que 1 réunis, que "avoir aucun premiers de 1 chiffre" l'était. Or, on a des premiers de 1 chiffre.
Enfin bref, c'est évident : d'un point de vue probabiliste ce théorème est vrai. S'il avait du être faux, le contre exemple aurait eu plus de chances d'être 1 que d'être n'importe quel autre nombre réuni. Or 1 n'est pas un contre exemple. S'il devait avoir un contre exemple autre que 1, il aurait plus de chances d'être 2 que d'être n'importe quel autre nombre réunion. Mais 2 n'est pas non plus un contre exemple.
C'est souvent contre-intuitif ce genre de raisonnement, parce qu'on se dit "on a vérifié que pour 20 nombres ou un truc du genre, or il y a une infinité de nombres supérieurs. Donc aussi faible que soit la probabilité, sur l'infinité de nombres qu'on n'a pas vérifiés, il pourrait bien y en avoir un qui s'avère être un contre exemple".
Sauf que non. La structure de la loi de probabilité est telle que vérifier les 20 premiers chiffres pèse énormement plus que vérifier tous les autres réunis".
Il n'y a donc pas photo : ce théorème est vrai. Je ne l'ai pas prouvé. Mais il est vrai. C'est virtuellement impossible qu'il soit faux.
Il me semble qu'il existe un théorème disant qu'entre un nombre et son double, il existe toujours au moins un nombre premier. A partir de là, il n'est pas difficile de prouver ce que vous exposez.
Je n'ai pas de preuve non plus mais j'ai tendance à penser que c'est faux.En effet pour n grand une approximation du nombre de nombres premiers est ln(n) alors que le nombre d'intervalles [10^n,10^(n+1)[ compris dans [0,n] est environ le logaritme décimal de n soit ln(n)/ln(10) ou environ 0.43ln(n).Comme les nombres premiers ont une fréquence d'apparition de plus en plus rare quand n augmente je penserais plutôt que le "théorème" est faux...
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Le théorème des nombres premiers dit que le nombre de premiers inférieur à n est équivalent à n/ln(n).
Ou, dit autrement, que la valeur du nième nombre premier est un équivalent de n*ln(n).
Donc le nombre de premiers à k chiffre est quelque part de l'ordre de 10^k/k - 10^(k-1)/(k-1) = (k-1)*10*10^(k-1)/(k*(k-1)) - k*10^(k-1)/(k*(k-1)) = 10^(k-1)/(k*(k-1)) * (10k-10-k)
Ce qui est un équivalent de 9*10^(k-1)/k²
Clairement, le nombre de premiers de k chiffre tend donc vers l'infini quand k tend vers l'infini.
Comme il y a 9*10^(k-1) nombre de k chiffres, la probabilité qu'un nombre de k chiffres soit premier est un équivalent de [9*10^(k-1)/k²] / [9*10^(k-1)] = 1/k²
Donc la probabilité qu'un nombre de k chiffres NE soit PAS premier est de l'ordre de 1-1/k²
La probabilité qu'il n'y ait aucun nombre premier de k chiffres est donc de l'ordre de (1-1/k²)^(9*10^(k-1)) (probabilité qu'aucun des 9*10^(k-1) nombre de k chiffres soit premier).
Juste pour éviter de me trimballer une formule compliquée, et parce que le majorant est très largement suffisant, je note que c'est clairement inférieur (passé un k suffisamment grand) à exp(-k)
(Vraiment, vraiment, vraiment très inférieur).
Ce qui signifie que si je considère la suite Pk des probabilité de n'avoir aucun nombre premier de k chiffres, cette suite est très largement majorée par la suite Qk=exp(-k)
Si je considère donc maintenant la série associée, elle est donc elle aussi très très largement majorée par la série "somme des exp(-k)".
Or on sait que le reste de cette série est donc exp(-n-1)/(1-1/e)
En d'autres termes, la somme des probabilités "il n'existe pas de premiers à k chiffres" pour k>n est très très très largement majorée par exp(-n-1)/(1-1/e).
Si on s'intéresse maintenant à la probabilité que "il existe un k>=n, tel qu'il n'existe pas de premiers à k chiffres" (dit autrement : soit il n'existe pas de premiers à k chiffres, soit il n'existe pas de premiers à k+1 chiffres, soit, etc jusqu'à l'infini), on voit que cette probabilité est très clairement inférieure à la somme des probabilité "il n'existe pas de premiers à k chiffres"
(Parce que "probabilité de A ou B" est inférieure à probabilité de A + probabilité de B).
Donc, la probabilité de trouver un seul k>n tel que "il n'existe pas de premiers à k chiffres" est très très très très (oui, j'ai ajouté un "très", puisque j'ai encore pris un majorant grossier) inférieure au reste exp(-n-1)/(1-1/e).
Au passage, puisque exp(-1)/(1-1/e) = 1/e / (1-1/e) <1 (puisque 1/e est plus petit que 1-1/e), je peux encore majorer pour simplifier l'écriture - ça me suffit toujours), et ajouter un "très" :
La probabilité de trouver un seul k>n tel que il n'existe pas de premiers à k chiffres est très très très très très largement inférieure à exp(-n) - ce qui est le terme de la série.
Dit autrement encore : la probabilité de trouver un k>n tel qu'il n'y ait pas de premiers de k chiffres est largement inférieure à la probabilité que ce soit vrai pour k=n !!
On sait déjà qu'il y a des premiers à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc chiffres.
Or, ma série vous montre que la probabilité de trouver n'importe quel chiffre supérieur à 8 pour lequel il n'y aurait pas de premiers est énormément inférieure à la probabilité que ce soit vrai pour juste 8.
De façon terre à terre, ce que ça veut dire mes chiffres c'est!:
Il est plus "impossible" d'avoir un nombre k de chiffres sans premiers dans tous les nombres plus grand que 1 réunis, que "avoir aucun premiers de 1 chiffre" l'était. Or, on a des premiers de 1 chiffre.
Enfin bref, c'est évident : d'un point de vue probabiliste ce théorème est vrai. S'il avait du être faux, le contre exemple aurait eu plus de chances d'être 1 que d'être n'importe quel autre nombre réuni. Or 1 n'est pas un contre exemple. S'il devait avoir un contre exemple autre que 1, il aurait plus de chances d'être 2 que d'être n'importe quel autre nombre réunion. Mais 2 n'est pas non plus un contre exemple.
C'est souvent contre-intuitif ce genre de raisonnement, parce qu'on se dit "on a vérifié que pour 20 nombres ou un truc du genre, or il y a une infinité de nombres supérieurs. Donc aussi faible que soit la probabilité, sur l'infinité de nombres qu'on n'a pas vérifiés, il pourrait bien y en avoir un qui s'avère être un contre exemple".
Sauf que non. La structure de la loi de probabilité est telle que vérifier les 20 premiers chiffres pèse énormement plus que vérifier tous les autres réunis".
Il n'y a donc pas photo : ce théorème est vrai. Je ne l'ai pas prouvé. Mais il est vrai. C'est virtuellement impossible qu'il soit faux.
J'hésite entre de l'humour potache et te demander si tu es sérieux ? Alors c'est à cette heure ci qu'on révise les maths ?
Oui je le pense aussi
Il me semble qu'il existe un théorème disant qu'entre un nombre et son double, il existe toujours au moins un nombre premier. A partir de là, il n'est pas difficile de prouver ce que vous exposez.
Je n'ai pas de preuve non plus mais j'ai tendance à penser que c'est faux.En effet pour n grand une approximation du nombre de nombres premiers est ln(n) alors que le nombre d'intervalles [10^n,10^(n+1)[ compris dans [0,n] est environ le logaritme décimal de n soit ln(n)/ln(10) ou environ 0.43ln(n).Comme les nombres premiers ont une fréquence d'apparition de plus en plus rare quand n augmente je penserais plutôt que le "théorème" est faux...
je le pense aussi
C'est à toi de nous le dire !
il faudra un contre exemple pour invalider ce théorème. un tel contre exemple existe t'il
Cela suppose qu'il y a une infinité de nombres premiers. Jusqu'à présent personne n'est parvenu à le démontrer.