Hola
Otro enfoque de cálculo,
que sirve para raíces de cualquier valor
L = lim[ (√(x + 6) - ∛(x + 24)) ) / (x - 3)]
x->3
sustituimos
u = x + 3
x = u - 3
cuando x-> 3 ....u-> 0
L = lim[ (√(u + 3 + 6) - ∛(u + 3 + 24)) ) / (u + 3 - 3)]
u->0
L = lim[ (√(u + 9) - ∛(u + 27)) ) / (u)]
L = lim[( √9 √(1 + (u/9)) - ∛27 ∛(1 + (u/27)) ) / (u)]
L = lim[( 3 √(1 + (u/9)) - 3 ∛(1 + (u/27)) ) / (u)]
Factor común y potencias fraccionarias
L = 3 * lim[( (1 + (u/9))^(1/2) - (1 + (u/27))^(1/3) ) / (u)]
Ahora usamos la aproximación, válida para x cercana a 0
(1 + x)^m ≈ 1 + m x
para cualquier real m
x cercanoa 0
Entonces
L = 3 * lim[( (1 + (1/2)(1/9)u) - (1 + (1/3)(1/27) u) / (u)]
L = 3 * lim[( 1 + (1/18) u - 1 - (1/81) u) / (u)]
Simplificamos y llevamos a divisor 162
L = 3 * lim[( 1 + (9/162) u - 1 - (2/162) u) / (u)]
L = 3 * lim[( (9/162) u - (2/162) u) / (u)]
L = 3 * lim[(7/162) u / u]
LLegamos a
L = 3*7/162
L = 7/54
************
Se trata de encontrar los puntos
donde se anula la derivada segunda.
y^3 (2 a - x) = x^3
x y^3 + x^3 - 2 a y^3 = 0
Diferenciación implícita
(y^3) dx + x (3 y^2 dy) + (3 x^2 dx) - 2 a (3 y^2 dy) = 0
3 x^2 y dy - 6 a y^2 dy = - y^3 dx - 3 x^2 dx
3 y (x^2 - 2 a y) dy = - (y^3 + 3 x^2) dx
Derivada primera
y' = dy/dx = (-1/3) (y^3 + 3 x^2)/(x^2 - 2 a y^2)
******************************************************
Derivada segunda
y'' = (-1/3) *
[(y^3 + 3 x^2)' (x^2 - 2 a y^2) -
- (y^3 + 3 x^2) (x^2 - 2 a y^2)']/
/(x^2 - 2 a y^2)^2
[(3 y^2 y' + 6 x) (x^2 - 2 a y^2) -
- (y^3 + 3 x^2) (2 x - 4 a y y')]/
Puntos de inflexión
Cuando y'' = 0
- (y^3 + 3 x^2) (2 x - 4 a y y')] = 0
(3 y^2 y' + 6 x) (x^2 - 2 a y^2) =
= (y^3 + 3 x^2) (2 x - 4 a y y')
Por un lado
3 y^2 y' + 6 x =
= 3 (-1/3) y^2 (y^3 + 3 x^2)/(x^2 - 2 a y^2) +
+ 6 x
= (-y^5 - 3 x^2 y^2)/(x^2 - 2 a y^2) +
= ((-y^5 - 3 x^2 y^2) + (6 x)(x^2 - 2 a y^2))/
/(x^2 - 2 a y^2)
= (-y^5 - 3 x^2 y^2 + 6 x^3 - 12 a x y^2))/
= (-y^5 - 3 x y^2 ( x + 4 a) + 6 x^3 )/
Por otro lado
2 x - 4 a y y' =
= 2 x + 4 a y (-1/3) y^2 (y^3 + 3 x^2)/(x^2 - 2 a y^2)
= (2/3) (3 x - 4 a y^2 (y^3 + 3 x^2)/(x^2 - 2 a y^2) )
= (2/3) (3 x (x^2 - 2 a y^2) -
- 4 a y^5 - 12 a x^2 y^2) )/(x^2 - 2 a y^2)
= (2/3) (3 x^3 - 36 a x y^2 - 4 a y^5 - 12 a x^2 y^2) )/
etc.
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Hola
Otro enfoque de cálculo,
que sirve para raíces de cualquier valor
L = lim[ (√(x + 6) - ∛(x + 24)) ) / (x - 3)]
x->3
sustituimos
u = x + 3
x = u - 3
cuando x-> 3 ....u-> 0
L = lim[ (√(u + 3 + 6) - ∛(u + 3 + 24)) ) / (u + 3 - 3)]
u->0
L = lim[ (√(u + 9) - ∛(u + 27)) ) / (u)]
u->0
L = lim[( √9 √(1 + (u/9)) - ∛27 ∛(1 + (u/27)) ) / (u)]
u->0
L = lim[( 3 √(1 + (u/9)) - 3 ∛(1 + (u/27)) ) / (u)]
u->0
Factor común y potencias fraccionarias
L = 3 * lim[( (1 + (u/9))^(1/2) - (1 + (u/27))^(1/3) ) / (u)]
u->0
Ahora usamos la aproximación, válida para x cercana a 0
(1 + x)^m ≈ 1 + m x
para cualquier real m
x cercanoa 0
Entonces
L = 3 * lim[( (1 + (1/2)(1/9)u) - (1 + (1/3)(1/27) u) / (u)]
u->0
L = 3 * lim[( 1 + (1/18) u - 1 - (1/81) u) / (u)]
u->0
Simplificamos y llevamos a divisor 162
L = 3 * lim[( 1 + (9/162) u - 1 - (2/162) u) / (u)]
u->0
L = 3 * lim[( (9/162) u - (2/162) u) / (u)]
u->0
L = 3 * lim[(7/162) u / u]
u->0
LLegamos a
L = 3*7/162
L = 7/54
************
Hola
Se trata de encontrar los puntos
donde se anula la derivada segunda.
y^3 (2 a - x) = x^3
x y^3 + x^3 - 2 a y^3 = 0
Diferenciación implícita
(y^3) dx + x (3 y^2 dy) + (3 x^2 dx) - 2 a (3 y^2 dy) = 0
3 x^2 y dy - 6 a y^2 dy = - y^3 dx - 3 x^2 dx
3 y (x^2 - 2 a y) dy = - (y^3 + 3 x^2) dx
Derivada primera
y' = dy/dx = (-1/3) (y^3 + 3 x^2)/(x^2 - 2 a y^2)
******************************************************
Derivada segunda
y'' = (-1/3) *
[(y^3 + 3 x^2)' (x^2 - 2 a y^2) -
- (y^3 + 3 x^2) (x^2 - 2 a y^2)']/
/(x^2 - 2 a y^2)^2
y'' = (-1/3) *
[(3 y^2 y' + 6 x) (x^2 - 2 a y^2) -
- (y^3 + 3 x^2) (2 x - 4 a y y')]/
/(x^2 - 2 a y^2)^2
Puntos de inflexión
Cuando y'' = 0
[(3 y^2 y' + 6 x) (x^2 - 2 a y^2) -
- (y^3 + 3 x^2) (2 x - 4 a y y')] = 0
(3 y^2 y' + 6 x) (x^2 - 2 a y^2) =
= (y^3 + 3 x^2) (2 x - 4 a y y')
Por un lado
3 y^2 y' + 6 x =
= 3 (-1/3) y^2 (y^3 + 3 x^2)/(x^2 - 2 a y^2) +
+ 6 x
= (-y^5 - 3 x^2 y^2)/(x^2 - 2 a y^2) +
+ 6 x
= ((-y^5 - 3 x^2 y^2) + (6 x)(x^2 - 2 a y^2))/
/(x^2 - 2 a y^2)
= (-y^5 - 3 x^2 y^2 + 6 x^3 - 12 a x y^2))/
/(x^2 - 2 a y^2)
= (-y^5 - 3 x y^2 ( x + 4 a) + 6 x^3 )/
/(x^2 - 2 a y^2)
Por otro lado
2 x - 4 a y y' =
= 2 x + 4 a y (-1/3) y^2 (y^3 + 3 x^2)/(x^2 - 2 a y^2)
= (2/3) (3 x - 4 a y^2 (y^3 + 3 x^2)/(x^2 - 2 a y^2) )
= (2/3) (3 x (x^2 - 2 a y^2) -
- 4 a y^5 - 12 a x^2 y^2) )/(x^2 - 2 a y^2)
= (2/3) (3 x^3 - 36 a x y^2 - 4 a y^5 - 12 a x^2 y^2) )/
/(x^2 - 2 a y^2)
= (2/3) (3 x^3 - 36 a x y^2 - 4 a y^5 - 12 a x^2 y^2) )/
/(x^2 - 2 a y^2)
etc.