Sólo con esas condiciones no, y pongo la función de la imagen como contraejemplo.
Esa función es:
f(x) =
........ 1) 1/x ...... si x<0
........ 2) 0 ......... si x=0
........ 3) 1/x ...... si 0<x<c, donde "c" es un número positivo.
........ 4) Para x≥c, la función se comporta como sucesión infinita de segmentos de rectas de pendientes
............ negativas y positivas (alternadamente), cada uno de los cuales corta al eje x. El primero empieza donde
............ había terminado la parte de la función 1/x, y luego cada segmento empieza en donde terminó el
............ anterior.
Nota que ni en el dominio ni en el rango quedó algún real por fuera. Además, f tiene infinitas raíces. Una está en (0,0), y las demás se dan cada vez que un segmento corta al eje x. Pero nota que no hay ningún punto en el que la derivada de f sea igual a cero (una función no es derivable en un pico, como el de una (V). Eso ocurre porque la derivada es un límite y en un pico los límites laterales correspondientes no coinciden, por lo que no existe el límite).
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Esto cambiaría si se agregaran otras condiciones, como que la derivada esté definida para todos los reales.
Answers & Comments
Hola
Según el teorema de Rolle,
cada 2 raíces tenemos una raíz de la derivada
Así que
infinitas raíces en la función
infinitas raíces en la derivada
https://www.youtube.com/watch?v=Y5zCUpQy6Rw
Sólo con esas condiciones no, y pongo la función de la imagen como contraejemplo.
Esa función es:
f(x) =
........ 1) 1/x ...... si x<0
........ 2) 0 ......... si x=0
........ 3) 1/x ...... si 0<x<c, donde "c" es un número positivo.
........ 4) Para x≥c, la función se comporta como sucesión infinita de segmentos de rectas de pendientes
............ negativas y positivas (alternadamente), cada uno de los cuales corta al eje x. El primero empieza donde
............ había terminado la parte de la función 1/x, y luego cada segmento empieza en donde terminó el
............ anterior.
Nota que ni en el dominio ni en el rango quedó algún real por fuera. Además, f tiene infinitas raíces. Una está en (0,0), y las demás se dan cada vez que un segmento corta al eje x. Pero nota que no hay ningún punto en el que la derivada de f sea igual a cero (una función no es derivable en un pico, como el de una (V). Eso ocurre porque la derivada es un límite y en un pico los límites laterales correspondientes no coinciden, por lo que no existe el límite).
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Esto cambiaría si se agregaran otras condiciones, como que la derivada esté definida para todos los reales.