Por sua vez, cos(57º), que, a exemplo, de sen(57º), é igual a cos(85º-28º). Assim, teremos:
cos(57º) = cos(85º).cos(28º) + sen(85º).sen(28º) . (II)
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Veja que, pela primeira relação fundamental da trigonometria, temos que sen²(x) + cos²(x) = 1. Então, como já temos o valor de sen(57º) e de cos(57º), vamos utilizar esta primeira relação fundamental. Assim, temos que:
sen²(57º) + cos²(57º) = 1 . (III)
Veja: como já temos, conforme as expressões (I) e (II), respectivamente, os valores de sen(57º) e de cos(57º), vamos calcular, separadamente, os quadrados de cada um deles. Depois levaremos os resultados para a nossa expressão (III) acima.
Agora, como já temos o valor de sen²(57º) e de cos²(57º), conforme as expressões (IV) e (V), respectivamente, vamos passar ambos para a expressão (III), que é esta:
sen²(85º).cos²(28º) + sen²(85º).sen²(28º) + cos²(85º).sen²(28º) + cos²(85º).cos²(28º) = 1 ----- agora vamos "arrumar", colocando-se sen²(85º) em evidência onde ele estiver, e colocando-se cos²(85º) também onde ele estiver, ficando:
sen²(85)*[cos²(28º) + sen²(28)] + cos²(85º)*[sen²(28)+cos²(28º)] = 1 , ou,o que é a mesma coisa:
sen²(85)*[sen²(28º) + cos²(28)] + cos²(85º)*[sen²(28)+cos²(28º)] = 1 ---- agora pomos o fator [sen²(28º)+cos²(28º)] em evidência, ficando:
[sen²(28º)+cos²(28º)]*[sen²(85º)+cos²(85)] = 1
Veja que sen²(28º) + cos²(28º) = 1 (lembre-se da primeira relação fundamental da trigonometria). Assim, temos:
sen(85º) = √(0,9919) ---- veja que √(0,9919) é 0,996 (bem aproximado). Assim:
sen(85º) = 0,996 <--- Este é o valor de sen(85º).
Como acabamos de encontrar o valor de sen(85º), vamos, agora, lá para a expressão (I), que é esta:
sen(57º) = sen(85º).cos(28º) - sen(28º).cos(85º) ---- substituindo-se sen(85º) por "0,996", cos(85º) por "0,09" e sen(28º) por "0,47", temos:
sen(57º) = 0,996*cos(28º) - 0,47*0,09
sen(57º) = 0,996cos(28º) - 0,0423 . (VI)
Veja que, para encontrarmos o valor de sen(57º) falta-nos apenas o valor de cos(28º). Para encontrarmos esse valor, lembre-se que, antes de chegarmos ao valor de sen(85º), passamos pela seguinte expressão:
[sen²(28º) + cos²(28º)] * [sen²(85º) + cos²(85)] = 1 ----- lembre, que, naquela oportunidade, substituímos sen²(28) + cos²(28) por "1", pois queríamos o valor de sen(85). Agora, vamos fazer sen²(85) + cos²(85) igual a "1" (recorde a primeira relação fundamental da trigonometria), deixando a outra expressão como está. Assim, temos:
sen(57º) = 0,8372 , ou, como todos as outras informações estão com apenas duas casas decimais, então temos que:
sen(57º) = 0,84 (aproximadamente) <--- Esta é a resposta.
Note, a propósito, que a questão poderia ter sido resolvida bem mais rapidamente, bastando, para isso, ter feito como procedeu o Louis XV na sua resposta. Mas o importante é que qualquer que seja o método adotado, desde que correto, leva sempre a respostas idênticas. Além disso, você aprende mais de um método para resolver questões da espécie.
Answers & Comments
Vamos lá.
Veja Ângelo, que 57º = 85º - 28º.
Então, o sen(57º) = sen(85º-28º). Assim, temos:
sen(57º) = sen(85º).cos(28º) - sen(28º).cos(85º) . (I)
Por sua vez, cos(57º), que, a exemplo, de sen(57º), é igual a cos(85º-28º). Assim, teremos:
cos(57º) = cos(85º).cos(28º) + sen(85º).sen(28º) . (II)
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Veja que, pela primeira relação fundamental da trigonometria, temos que sen²(x) + cos²(x) = 1. Então, como já temos o valor de sen(57º) e de cos(57º), vamos utilizar esta primeira relação fundamental. Assim, temos que:
sen²(57º) + cos²(57º) = 1 . (III)
Veja: como já temos, conforme as expressões (I) e (II), respectivamente, os valores de sen(57º) e de cos(57º), vamos calcular, separadamente, os quadrados de cada um deles. Depois levaremos os resultados para a nossa expressão (III) acima.
Assim temos:
sen²(57º) = [sen(85º).cos(28º) - sen(28º).cos(85º)]² --- desenvolvendo, temos:
sen²(57º) = sen²(85º).cos²(28º) - 2*sen(85º).cos(28º).sen(28º).cos(85º) + sen²(28º).cos²(85º) . (IV)
e
cos²(57º) = [cos(85º).cos(28º) + sen(85º).sen(28º)]² ---- desenvolvendo, temos:
cos²(57º) = cos²(85º).cos²(28º) + 2*cos(85º).cos(28º).sen(85º).sen(28º) + sen²(85º).sen²(28º) . (V)
Agora, como já temos o valor de sen²(57º) e de cos²(57º), conforme as expressões (IV) e (V), respectivamente, vamos passar ambos para a expressão (III), que é esta:
sen²(57º) + cos²(57º) = 1 ----- fazendo as devidas substituições, temos:
sen²(85º).cos²(28º) - 2*sen(85º).cos(28º).sen(28º).cos(85º) + sen²(28º).cos²(85º) + cos²(85º).cos²(28º) + 2*cos(85º).cos(28º).sen(85º).sen(28º) + sen²(85º).sen²(28º) = 1 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos apenas com:
sen²(85º).cos²(28º) + sen²(28º).cos²(85º) + cos²(85º).cos²(28º) + sen²(85º).sen²(28º) = 1 ----- vamos ordenar, ficando:
sen²(85º).cos²(28º) + sen²(85º).sen²(28º) + sen²(28º).cos²(85º) + cos²(85º).cos²(28º) = 1 , ou:
sen²(85º).cos²(28º) + sen²(85º).sen²(28º) + cos²(85º).sen²(28º) + cos²(85º).cos²(28º) = 1 ----- agora vamos "arrumar", colocando-se sen²(85º) em evidência onde ele estiver, e colocando-se cos²(85º) também onde ele estiver, ficando:
sen²(85)*[cos²(28º) + sen²(28)] + cos²(85º)*[sen²(28)+cos²(28º)] = 1 , ou,o que é a mesma coisa:
sen²(85)*[sen²(28º) + cos²(28)] + cos²(85º)*[sen²(28)+cos²(28º)] = 1 ---- agora pomos o fator [sen²(28º)+cos²(28º)] em evidência, ficando:
[sen²(28º)+cos²(28º)]*[sen²(85º)+cos²(85)] = 1
Veja que sen²(28º) + cos²(28º) = 1 (lembre-se da primeira relação fundamental da trigonometria). Assim, temos:
1*[[sen²(85º)+cos²(85)] = 1 , ou apenas:
sen²(85º) + cos²(85º) = 1 ---- substituindo-se cos(85º) por 0,09, temos:
sen²(85º) + (0,09)² = 1
sen²(85º) + 0,0081 = 1
sen²(85º) = 1 - 0,0081
sen²(85º) = 0,9919
sen(85º) = √(0,9919) ---- veja que √(0,9919) é 0,996 (bem aproximado). Assim:
sen(85º) = 0,996 <--- Este é o valor de sen(85º).
Como acabamos de encontrar o valor de sen(85º), vamos, agora, lá para a expressão (I), que é esta:
sen(57º) = sen(85º).cos(28º) - sen(28º).cos(85º) ---- substituindo-se sen(85º) por "0,996", cos(85º) por "0,09" e sen(28º) por "0,47", temos:
sen(57º) = 0,996*cos(28º) - 0,47*0,09
sen(57º) = 0,996cos(28º) - 0,0423 . (VI)
Veja que, para encontrarmos o valor de sen(57º) falta-nos apenas o valor de cos(28º). Para encontrarmos esse valor, lembre-se que, antes de chegarmos ao valor de sen(85º), passamos pela seguinte expressão:
[sen²(28º) + cos²(28º)] * [sen²(85º) + cos²(85)] = 1 ----- lembre, que, naquela oportunidade, substituímos sen²(28) + cos²(28) por "1", pois queríamos o valor de sen(85). Agora, vamos fazer sen²(85) + cos²(85) igual a "1" (recorde a primeira relação fundamental da trigonometria), deixando a outra expressão como está. Assim, temos:
[sen²(28) + cos²(28)]*1 = 1 , ou apenas:
sen²(28º) + cos²(28º) = 1 ---- substituindo sen(28º) por "0,47", temos:
(0,47)² + cos²(28º) = 1
0,2209 + cos²(28º) = 1
cos²(28º) = 1 - 0,2209
cos²(28º) = 0,7791
cos(28º) = √(0,7791) ---- veja ue √(0,7791) = 0,883 (bem aproximado). Assim:
cos(28º) = 0,883 <--- Este é o valor de cos(28º).
Dessa forma, como só nos faltava este valor para encontrar o valor de sen(57º), vamos na expressão (VI), que é esta:
sen(57º) = 0,996cos(28º) - 0,0423 ---- substituindo cos(28º) por "0,883", temos:
sen(57º) = 0,996*0,883 - 0,0423
sen(57º) = 0,879468 - 0,0423
sen(57º) = 0,8372 , ou, como todos as outras informações estão com apenas duas casas decimais, então temos que:
sen(57º) = 0,84 (aproximadamente) <--- Esta é a resposta.
Note, a propósito, que a questão poderia ter sido resolvida bem mais rapidamente, bastando, para isso, ter feito como procedeu o Louis XV na sua resposta. Mas o importante é que qualquer que seja o método adotado, desde que correto, leva sempre a respostas idênticas. Além disso, você aprende mais de um método para resolver questões da espécie.
Ok?
Adjemir.
Ola Angelo
cos²(85) + sen²(85) = 1
0.09² + sen²(85) = 1
sen²(85) = 1 - 0.0081 = 0.9919
sen(85) = 0.996
sen²(28) + cos²(28) = 1
0.47² + cos²(28) = 1
cos²(28) = 1 - 0.47² = 0.7791
cos(28) = 0.883
sen(85 - 28) = sen(85)*cos(28) - sen(28)*cos(85)
sen(57) = 0.996*0.883 - 0.47*0.09 = 0.837
pronto