Especifica si es R(t) = 2t^2 i+ t j+ ct k o R(t) = 2t^2 i+ t j+ c k
En el primer caso se debe seguir la brillante respuesta de railrule , un lujo .-
Si es la segunda , se puede simplificar pues la curva esta en un plano z=c , es decir en un plano paralelo al plano XY a una altura z=c , pero se puede tratar como una curva plana
Asi , la tangente sera dr/dt = 4t i+1j .
Dado un vector v , se tiene k v.v =IvI IvI cos 0 , o sea que
v.v = IvI^2 y IvI = raiz ( v.v ) que en este caso seria
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Hola
Supongo
r(t) = 2 t^2 i + t j + c k
Derivada de r
dr/dt = 4 t i + j
Módulo de la derivada de r
que es la derivada del arco s con respecto al parámetro
ds/dt = |dr/dt| = ( (4 t)^2 + (1)^2 + (0)^2 )^(1/2)
ds/dt = |dr/dt| = ( 16 t^2 + 1 )^(1/2)
1/(ds/dt) = ( 16 t^2 + 1 )^(-1/2)
Vector tangente unitario
T = (dr/dt) / |dr/dt|
T = ( 16 t^2 + 1 )^(-1/2) ( 4 t i + j )
T = 4 t ( 16 t^2 + 1 )^(-1/2) i + ( 16 t^2 + 1 )^(-1/2) j
*************
Aplicamos la relación
k N = dT/ds = dT/dt * 1/(ds/dt)
k : curvatura
N : Vector normal unitario
dT/dt = 4 ( 16 t^2 + 1 )^(-1/2) i +
+ (4 t) (-1/2) ( 16 t^2 + 1 )^(-3/2) ( 32 t) i
+ (-1/2) ( 16 t^2 + 1 )^(-3/2) ( 32 t) j
dT/dt = ( 16 t^2 + 1 )^(-3/2)
(4 ( 16 t^2 + 1 ) i - 64 t^2 i - 16 t j )
dT/dt = 4 ( 16 t^2 + 1 )^(-3/2) ( i - 4 t j)
Queda
k N = 4 ( 16 t^2 + 1 )^(-3/2) ( i - 4 t j) * ( 16 t^2 + 1 )^(-1/2)
k N = 4 ( 16 t^2 + 1 )^(-2) ( i - 4 t j)
*********
Tomamos módulo
|k N| = 4 ( 16 t^2 + 1 )^(-2) ( 1 + 16 t^2 )^(1/2)
Como N es unitario
Curvatura
k = |k N| = 4 ( 16 t^2 + 1 )^(-3/2)
****************
Vector normal unitario
N = (k N)/k
N = ( 16 t^2 + 1 )^(-1/2) ( i - 4 t j)
================
Saludos
Especifica si es R(t) = 2t^2 i+ t j+ ct k o R(t) = 2t^2 i+ t j+ c k
En el primer caso se debe seguir la brillante respuesta de railrule , un lujo .-
Si es la segunda , se puede simplificar pues la curva esta en un plano z=c , es decir en un plano paralelo al plano XY a una altura z=c , pero se puede tratar como una curva plana
Asi , la tangente sera dr/dt = 4t i+1j .
Dado un vector v , se tiene k v.v =IvI IvI cos 0 , o sea que
v.v = IvI^2 y IvI = raiz ( v.v ) que en este caso seria
Idr/dt I = raiz ( ( dr/dt ). (dr/dt ) ) = raiz (16t^2+1)
luego la tangente unitaria es T= (dr/dt ) / raiz (16t^2+1)
T= (1/raiz (16t^2+1 ) ( 4t +j )
Reitero , como estariamos en un plano , bastaria k la normal unitaria proyectada sobre T fuera nula , osea , N.T=0
Para esto N = (1/raiz (16t^2+1 ) ( i -4t j ) o bien
N= (1/raiz (16t^2+1 ) ( -i +4t j )
Obs : En el plano , un vector u= a i+ bj tiene por normal N= ( -bi+aj ) o bien N= bi-aj