¿Resolver el siguiente límite!!:?
Lim→× cuando tiende a infinito de raíz cuadrada de x al cuadrado mas 1 (todo esto entre paréntesis) menos raíz cuadrada de x al cuadrado más x (y esto entre paréntesis)
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Hola
Indeterminación ∞ - ∞
L = Lim[ √(x^2 + 1) - √(x^2 + x) ]
......x -> ∞
El tratamiento normal de polinomios
cuando x -> ∞
es que los polinomios se comportan,
cuando x crece, como su término de mayor grado
así que la expresión dada se comporta como
[ √(x^2 + 1) - √(x^2 + x) ] -> [ √(x^2) - √(x^2) ] = |x| - |x|
En este caso, la aproximación no se puede usar
porque tenemos indeterminación ∞ - ∞
Usamos diferencia de cuadrados
para simplificar las raíces
multiplicando y dividiendo por
(√(x^2 + 1) + √(x^2 + x))
Observemos que este término NO es indeterminado
y tiende a infinito como
|x| + |x| = 2 |x|
L =
Lim[ (√(x^2 + 1) - √(x^2 + x)) (√(x^2 + 1) + √(x^2 + x)) /
/ (√(x^2 + 1) + √(x^2 + x))]
x -> ∞
L =
Lim[ ( (√(x^2 + 1))^2 - (√(x^2 + x))^2) /
/ (√(x^2 + 1) + √(x^2 + x))]
x -> ∞
L =
Lim[ ( (x^2 + 1) - (x^2 + x)) /
/ (√(x^2 + 1) + √(x^2 + x))]
x -> ∞
L = Lim[ ( 1 - x ) / (√(x^2 + 1) + √(x^2 + x))]
.......x -> ∞
Como hemos dicho,
el divisor se comporta como
[ √(x^2 + 1) + √(x^2 + x) ] -> [ √(x^2) + √(x^2) ] = |x| + |x| = 2 |x|
L = Lim[ ( 1 - x ) / (2 |x|)]
........x -> ∞
L = Lim ( (1/2) (1/|x|) - Lim ( (1/2) (x/|x|) )
........x -> ∞...................x -> ∞
El cociente de x con su valor absoluto |x|
es la función signo de x
que es -1 para negativos y +1 para positivos
L = Lim ( (1/2) (1/|x|) - Lim ( (1/2) sgn(x) )
......x -> ∞...................x -> ∞
El primer término tiende a 0,
así que queda
L = (-1/2) sgn(x)
.....x -> ∞
en forma explícita
L+ = Lim[ √(x^2 + 1) - √(x^2 + x) ] = -1/2
......x -> +∞
L- = Lim[ √(x^2 + 1) - √(x^2 + x) ] = +1/2
......x -> -∞
Saludos
=-1/2
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