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A resposta é P(x) = x³ -x² -x + 3

Resolvendo:

ATENÇÃO CORREÇÃO: a derivada de p(x) que você forneceu está errada

p'(x) = 3x² + 2bx + c e não o 3x³+2bx+c

Vamos resolver a questão:

como p'(1) é raiz, temos p'(1) = 0

0 = 3 + 2b + c

p'(-1) = 4

4 = 3 -2b + c

Sistema linear:

2b + c = -3

-2b + c = 1

2c = -2

c = -1

b = -1

Agora vamos para o Teorema do Resto:

Dividindo p(x) por (x-1), temos um quociente Q(x) e um resto R

Assim, temos:

p(x) = Q(x-1) + R

Certo, agora pensemos: desconhecemos Q, mas se conseguirmos multiplica-lo por 0, ele irá desaparecer:

Para desaparecer, x-1 tem que ser 0

x = 1

Portanto, p(1) = Q.0 + R

Como o enunciado disse, R = 2

Logo:

p(1) = 2

p(1) = 1 + b + c + d = 2

b + c + d = 1

c = -1 e b = -1 (determinado anteriormente)

-1 -1 + d = 1

d = 3

Logo, agora que sabemos as incognitas:

V: { (b,c,d) = ( -1,-1,3)}

Assim, temos:

P(x) = x³ -x² -x + 3

Espero que tenha entendido :)

p(x) = x³ + bx² + cx + d

p'(x) = 3x³ + 2bx + c

p'(1) = 3 + 2b + c = 0

p'(-1) = -3 - 2b + c = 4

2c = 4

c = 2

3 + 2b + 2 = 0

2b = -5

b = -5/2

p(1) = 1 - 5/2 + 2 + d = 0

2 - 5 + 4 + 2d = 0

2d = -1

d = -1/2

o polinômio p(x) é:

p(x) = (2x³ - 5x² + 4x - 1)/2

pronto