Progressão Geométrica - UFBA 93?
Considere três quadrados cujas medidas dos lados formam uma progressão geométrica. A soma das áreas desses quadrados é 189 u.a.; a razão entre as medidas das áreas do menos e do maior quadrado nessa ordem, é 1/16. Determine, em u.a., a área do quadrado cuja medida do lado é o termo médio da progressão geométrica.
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Se os lados estão em PG e você chamar o lado do menor quadrado de L1 os lados serão respectivamente:
L1; L1.q :L1.q ²
As áreas serão respectivamente,
(L1) ²; (L1.q) ²; (L1.q ²) ²
Se a razão entre a área do menor e a do maior é 1/16,
(L1) ² / (L1.q²) ² = 1/16
(L1) ² / (L1) ². q^4 = 1/16 {usei o " ^ " para indicar que o que segue é um expoente}
Simplificando,
1/q^4 = 1/16
q^4 = 16
q = 2
Agora use a soma das áreas dos quadrados,
(L1) ² + (L1.q) ² + (L1.q ²) ² = 189
(L1) ² + (L1) ².q ² + (L1) ². q^4 = 189
Coloque (L1) ² em evidência e substitua o q por 2,
(L1) ² (1 + q ² + q^4) = 189
(L1) ² (1 + 2 ² + 2^4) = 189
(L1) ² (1 + 4 + 16) = 189
(L1) ² (21) = 189
(L1) ² = 189/21
(L1) ² = 9
L1 = 3
A área do quadrado médio é,
(L1.q) ² = (3 x 2) ² = (6) ² = 36 u.a
PG
u1 = u1
u2 = u1*q
u3 = u1*q²
u1*(1 + q + q²) = 189
u1/u1q² = 1/16
q² = 16
q = 4
u1*(1 + 4 + 16) = 189
u1*21 = 189
u1 = 9
lado do quadrado
L = u1*q = 9*4 = 36
área
A = L² = 36² = 1296
pronto