Progressão Aritmética e Interpolação Aritmética?
Uma p.a tem como seus dois primeiros termos os números 5 e 10; conhecemos ainda que seu último termo é o número 500. Uma outra P.A tem como seu primeiro termo o número 2 e como seus dois ultimos termos os números 492 e 497, respectivamente. Se os termos das duas P.A finitas são misturados, obtém-se uma nova sequencia. A soma dos termos desta nova sequencia é:
a) 24.750
b) 25.250
c) 50.200
d) 60.500
e) 62.750
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Dados:
P.A.1)
a1 = 5
a2 = 10
an = 500
P.A.2)
a1 = 2
an = 497
a(n-1) = 492
Se fizermos a soma da soma de todos os termos das duas P.A.s, obteremos nosso resultado. Então:
S = Sn(P.A.1) + Sn(P.A.2)
Vamos fazer por partes.
Começando pela primeira P.A., perceba que se o primeiro termo é 5 e o segundo é 10, a razão r é a2-a1 = 10-5 = 5. Para calcular a soma de todos os termos da P.A.1, precisamos encontrar a posição do último termo.
an = a1 +(n-1)r
500 = 5 +(n-1)5
495 = 5n -5
500 = 5n
n = 100
Temos então a100 = 500. Agora podemos encontrar a soma de todos os 100 termos da P.A.1:
S100 = 100(a1+a100)/2
S100 = 50(5+500) = 25250
Agora vamos analisar a P.A.2. A razão r é dada por an-a(n-1) = 497-492 = 5. Precisamos encontrar a posição do último termo da P.A.2:
an = a1 +(n-1)r
497 = 2 +(n-1)5
495 = 5n -5
5n = 500
n = 100
Temos então que a100 = 497. Agora podemos encontrar a soma de todos os 100 termos da P.A.2:
S100 = 100(a1+a100)/2
S100 = 50(2+497) = 24950
A resposta final é a soma das duas somas encontradas:
S = Sn(P.A.1) + Sn(P.A.2)
S = 25250 + 24950
S = 50200
A alternativa correta é a letra c).
primeira PA
a1 = 5
a2 = 10
an = 500
razão
ra = a2 - a1 = 10 - 5 = 5
numero de termos
an = a1 + ra*(n - 1)
5 + 5*(n - 1) = 500
5*(n - 1) = 495
n - 1 = 495/5 = 99
n = 100
segunda PA
b1 = 2
rb = 997 - 992 = 5
numero de termos
bn = b1 + rb*(m - 1)
2 + 5*(m - 1) = 997
5*(m - 1) = 995
m - 1 = 995/5 = 99
m = 100
terceira PA
c1 = a1 + b1 = 5 + 2 = 7
c2 = a2 + b2 = 10 + 7 = 17
razão
rc = c2 - c1 = 17 - 7 = 10
c100 = c1 + 99rc
c100 = 7 + 99*10 = 997
soma
S = (c1 + c100)*100/2
S = (7 + 997)*50 = 50200 (C)
pronto
à o q homi?