Hola

Hipérbola horizontal

9 x^2 - 16 y^2 = 144

Dividimos todo por 144 y simplificamos

(9 x^2/144) - (16 y^2/144) = 1

(x^2/16) - (y^2/9) = 1

Identificamos

Vértice (0,0)

Semieje real

a = raiz(16) = 4

Eje real

2 a = 8

Semieje transverso

b = raiz(9) = 3

Eje transverso

2 b = 6

Semieje focal

c = raiz(a^2 + b^2) = raiz(16+9) = raiz(25)

c = 5

Eje focal

2 c = 10

Coordenada de los focos

F1 (5,0) ; F2(-5,0)

Punto P

xp = 6 ; yp = (3/2) √(5)

Verifiquemos que P pertenece a la hipérbola

9 xp^2 - 16 yp^2 =

= 9 * 36 - 16 * (9/4) * 5

= 324 - 4*9*5

= 324 - 180

= 144

Distancia de P a F1

D1^2 = ( (3/2) √(5) - 0)^2 + (6 - 5)^2

D1^2 = ( (3/2) √(5))^2 + (1)^2

D1^2 = (9/4) (5) + 1

D1^2 = (45/4) + (4/4)

D1^2 = 49/4

D1 = √(49/4)

D1 = 7/2

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Distancia de P a F2

D2^2 = ( (3/2) √(5) - 0)^2 + (6 - (-5))^2

D2^2 = ( (3/2) √(5))^2 + (11)^2

D2^2 = (9/4) (5) + 121

D2^2 = (45/4) + (484/4)

D2^2 = 529/4

D2 = √(529/4)

D2 = 23/2

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D2 - D1 = (23/2) - (7/2) = 16/2

Efectivamente

la diferencia de distancias

es igual al eje real 2a

D2 - D1 = 8 = 2 a

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