Não pode ser o número de lados igual a 24 vezes o número de diagonais... pois quando tem 4 lados o número de diagonais é 2...
e quando tem 5 lados o numero de diagonais é 5.... mas a partir de 5 lados o número de diagonais é maior que o número de lados... por exemplo se tem 6 lados tem 9 diagonais e daí para frente o número de diagonais é sempre maior que o número de lados..... então se multiplicar o número de diagonais por 24 não vai obter o número de lados. Pronto!
Veja, Omar, que o número de diagonais de um polígono regular é dado por:
d = n*(n-3)/2, em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados.
Como o número de lados ao cubo do polígono da sua questão é 24 vezes o número de diagonais desse mesmo polígono, então vamos igualar "n³" (número de lados ao cubo) desse polígono a 24 vezes o número de diagonais (ou seja 24*n*(n-3)/2 ).
Assim, você faz que:
n³ = 24*n*(n-3)/2 ---- ou:
n³ = 24n*(n-3)/2 ---- multiplicando em cruz, ficamos com:
2n³ = 24n*(n-3) ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", ficando:
n³ = 12n*(n-3) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:
n³ = 12n*n - 12n*3
n³ = 12n² - 36n ---- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos assim:
n³ - 12n² + 36n = 0 ----- vamos pôr "n" em evidência, ficando:
n*(n² - 12n + 36) = 0 --- veja: aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é zero. Quando isso ocorre, um dos fatores é zero. Logo, temos as seguintes possibilidades:
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Ola Omar
d = n*(n - 3)/2
n³ = 24*n*(n - 3)/2
2n² = 24n - 72
2n² - 24n + 72 = 0
n² - 12n + 36 = 0
(n - 6)² = 0
n = 6 lados
o polígono regular é um hexágono
pronto
Não pode ser o número de lados igual a 24 vezes o número de diagonais... pois quando tem 4 lados o número de diagonais é 2...
e quando tem 5 lados o numero de diagonais é 5.... mas a partir de 5 lados o número de diagonais é maior que o número de lados... por exemplo se tem 6 lados tem 9 diagonais e daí para frente o número de diagonais é sempre maior que o número de lados..... então se multiplicar o número de diagonais por 24 não vai obter o número de lados. Pronto!
d = Cn,2 - n
d=n!/(n-2)!2 -n
d=n(n-1)(n-2)!/(n-2)!2 -n
d=n(n-1)/2 -n=n²/2-n/2-n
d=n²/2-3n/2=n(n-3)/2
n³ = 24*n*(n - 3)/2
n² = 12*(n - 3)
n²-12n+36=0
n₁=[12+√(12²-4*36)]/2=6
n₂=[12-√(12²-4*36)]/2=6
É um hexágono
Vamos lá.
Veja, Omar, que o número de diagonais de um polígono regular é dado por:
d = n*(n-3)/2, em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados.
Como o número de lados ao cubo do polígono da sua questão é 24 vezes o número de diagonais desse mesmo polígono, então vamos igualar "n³" (número de lados ao cubo) desse polígono a 24 vezes o número de diagonais (ou seja 24*n*(n-3)/2 ).
Assim, você faz que:
n³ = 24*n*(n-3)/2 ---- ou:
n³ = 24n*(n-3)/2 ---- multiplicando em cruz, ficamos com:
2n³ = 24n*(n-3) ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", ficando:
n³ = 12n*(n-3) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:
n³ = 12n*n - 12n*3
n³ = 12n² - 36n ---- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos assim:
n³ - 12n² + 36n = 0 ----- vamos pôr "n" em evidência, ficando:
n*(n² - 12n + 36) = 0 --- veja: aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é zero. Quando isso ocorre, um dos fatores é zero. Logo, temos as seguintes possibilidades:
ou
n = 0 ----> n' = 0
ou
n² - 12n + 36 = 0 ---- aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes:
n'' = n''' = 6
Assim, como você viu, "n" poderá ser "0" ou "6".
Como o número de lados do polígono não pode ser nulo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:
n = 6 lados <--- Esta é a resposta. O polígono é um hexágono.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.