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Vamos lá.

Pede-se o centro e o raio de uma esfera que tem a seguinte equação:

x² + y² + z² + 4x - 6y + z - 1 = 0

Veja que a equação reduzida de uma esfera, que tenha centro em (xo; yo; zo) e raio = r, é dada por:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = r²

Assim, como a equação da nossa esfera é esta:

x² + y² + z² + 4x - 6y + z - 1 = 0, vamos, inicialmente, ordenar, ficando assim:

x²+4x + y²-6y + z²+z - 1 = 0 --- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que o quadrado criou e que não estavam na equação original. Assim:

(x+2)²-4 + (y-3)²-9 + (z+1/2)²-1/4 - 1 = 0

(x+2)² + (y-3)² + (z+1/2)² - 4 - 9 - 1/4 - 1 = 0

(x+2)² + (y-3)² + (z+1/2)² - 14-1/4 = 0

Veja que -14-1/4 = (4*(-14)-1)/4 = (-56-1)/4 = (-57/4). Assim, ficamos com:

(x+2)² + (y-3)² + (z+1/2)² - 57/4 = 0. --- colocando (-57/4) para o 2º membro, ficamos com:

(x+2)² + (y-3)² + (z+1/2)² = 57/4 --- a partir daqui você conclui que:

O centro é: C(-2; 3; -1/2)

O raio é: √(57/4) ---- Mas como raiz de (4) = 2. Então:

O raio é: √(57)/2

É isso aí.

OK?

Adjemir.

Se uma esfera tem equação x² + y²+ z² + ax + by + cz + d = 0, então, completando os quadrados e colocando na forma reduzida, a equação fica

(x - (- a/2))² + (y - (-b/2))² + (z - (- c/2))² = (a² + b²+ c²)/4 - d

Logo, se (a² + b²+ c²)/4 - d > 0, é uma esfera com centro em (-a/2, -b/2, -c/2) e raio raiz((a² + b² + c²)/4 - d).

Se (a² + b²+ c²)/4 - d = 0, apenas o ponto (-a/2, -b/2, -c/2) satisfaz à equação; e se (a² + b²+ c²)/4 - d < 0, nenhum ponto satisfaz, temos o conjunto vazio.

No caso dado, r = raiz(53/4 + 1) = raiz(57)/2 e o centro é (-2, 3, -1/2)

x² + 4x + y² - 6y + z² + z - 1 = 0

(x + 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 + z² + z - 1 = 0

(x + 2)² + (y - 3)² = 14 - z² - z

centro C(-2,3)

pronto