Hola,

x⁴ + 1 =

completemos el cuadrado sumando y restando el doble producto 2x²:

(x²)² + 1² =

(x²)² + 2x² + 1² - 2x² =

[(x²)² + 2x² + 1²] - [(√2)x]² =

(factorizando ésta como diferencia de dos cuadrados)

(x² + 1)² - [(√2)x]² =

[(x² + 1) + (√2)x] [(x² + 1) - (√2)x] =

luego concluyendo con:

[x² + (√2)x + 1] [x² - (√2)x + 1]

====== ======== ======== ======== ========

2x⁴ /(x⁴ + 1)

escribamos el dividendo y el divisor como:

2x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x + 0 | x⁴ + 1

dividamos el primer término del dividendo por el primer término del divisor y escribamos el resultado bajo el divisor:

2x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x + 0 | x⁴ + 1

......... ............ ...............| 2

multipliquemos 2 por cada término del divisor y escribamos los resultados, con el signo opuesto, bajo los términos de igual grado del dividendo:

. 2x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x + 0 | x⁴ + 1

- 2x⁴......... ....... ......... - 2 | 2

sumemos lo términos demejantes a la izquierda obteniendo el residuo:

. 2x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x + 0 | x⁴ + 1

- 2x⁴......... ....... ......... - 2 | 2

------- -------- -------- ---------

... 0...... ......... ........ .. - 2 (residuo)

siendo el cociente 2 y el residuo - 2, podemos expresar el resultado de la división como:

2x⁴ /(x⁴ + 1) = 2 + [(- 2) /(x⁴ + 1)] =

2 - [2 /(x⁴ + 1)]

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!

(a) x^4+1=

(x^2)^2-i^2=....(i^2=-1)

(x^2-i)(x^2+i)=

(x+0.7071068+0.7071068i)*

(x+0.7071068-0.7071068i)*

(x-0.7071068+0.7071068i)*

(x-0.7071068-0.7071068i)

=

[x+sqr(2)(1+i)/2]*

[x+sqr(2)(1-i)/2]*

[x-sqr(2)(1-i)/2]*

[x-sqr(2)(1+i)/2]

(b) 2(x^4)/(x^4+1)=

1+(x^4+x^4+1-1)/(x^4+1)=

1+(x^4-1)/(x^4+1)=

1+(x^4+1-2)/(x^4+1)=

2-2/(x^4+1)