se trata de una forma indeterminada + ∞ - ∞ (ya que, si el argumento tiende a infinito, el logaritmo también tiende a infinito)
apliquemos la propiadad de los logaritmos log a - log b = log (a/b):
lim {ln [(1 + x) /x]} =
x→∞
ahora el argumento del logaritmo adquiere la forma indeterminada ∞ /∞, entonces distribuyamos y simplifiquemos:
lim {ln [(1/x) + (x/x)]} =
x→∞
lim {ln [(1/x) + 1]} =
x→∞
(haciendo tender x a infinito)
lim {ln {[1/(→∞)] + 1} } =
x→∞
lim {ln [(→0) + 1]} =
x→∞
lim [ln (→1)] =
x→∞
0
======================= =======================
lim [(1/x²)^(tanx)] =
x→0
se trata de una forma indeterminada ∞^0
puesto que podemos escribir t como e^(ln t), reescribamos el límite como:
lim {e ^ {ln [(1/x²)^(tanx)]} } =
x→0
apliquemos la propiedad de los logaritmos log aⁿ = n log a:
lim {e ^ [tanx ln (1/x²)]} =
x→0
apliquemos la propiedad de los logaritmos log (1/a) = - log a:
lim {e ^ {tanx [- ln (x²)]} =
x→0
ahora el exponente adquiere la forma indeterminada 0 ∙ ∞ (ya que, si el argumento tiende a cero, el logaritmo tiende a menos infinito), entonces tenemos que escribirlo como cociente para poder luego aplicar la regla de l'Hopital, considerando la identidad tanx = 1 /cotx:
lim {e ^ {(1 /cotx) [- ln (x²)]} =
x→0
lim {e ^ {- [ln (x²)] /cotx} } =
x→0
ahora el exponente adquiere la forma indeterminada ∞, luego podemos aplicar la regla de l'Hopital, derivando tanto el numerador como el denominador del exponente:
lim {e ^ {- [ln (x²)]' /(cotx)' } } =
x→0
(aplicando la regla de la cadena)
lim {e ^ {- [(1/x²) (x²)' ] /(- csc²x)} } =
x→0
lim {e ^ {[(1/x²) (2x)] /csc²x} } =
x→0
lim {e ^ [2x (1/x²)(1 /csc²x)]} =
x→0
lim {e ^ [2x (1/x²)(1 /cscx)²]} =
x→0
(puesto que 1 /cscx = senx)
lim {e ^ [2x (1/x)²(senx)²]} =
x→0
lim {e ^ {2x [(1/x)(senx)]²} } =
x→0
lim {e ^ {2x [(senx) /x]²} } =
x→0
(recordando el límite notable lim [(senx) /x] = 1)
Answers & Comments
Hola,
lim [ln (1 + x) - ln x] =
x→∞
se trata de una forma indeterminada + ∞ - ∞ (ya que, si el argumento tiende a infinito, el logaritmo también tiende a infinito)
apliquemos la propiadad de los logaritmos log a - log b = log (a/b):
lim {ln [(1 + x) /x]} =
x→∞
ahora el argumento del logaritmo adquiere la forma indeterminada ∞ /∞, entonces distribuyamos y simplifiquemos:
lim {ln [(1/x) + (x/x)]} =
x→∞
lim {ln [(1/x) + 1]} =
x→∞
(haciendo tender x a infinito)
lim {ln {[1/(→∞)] + 1} } =
x→∞
lim {ln [(→0) + 1]} =
x→∞
lim [ln (→1)] =
x→∞
0
======================= =======================
lim [(1/x²)^(tanx)] =
x→0
se trata de una forma indeterminada ∞^0
puesto que podemos escribir t como e^(ln t), reescribamos el límite como:
lim {e ^ {ln [(1/x²)^(tanx)]} } =
x→0
apliquemos la propiedad de los logaritmos log aⁿ = n log a:
lim {e ^ [tanx ln (1/x²)]} =
x→0
apliquemos la propiedad de los logaritmos log (1/a) = - log a:
lim {e ^ {tanx [- ln (x²)]} =
x→0
ahora el exponente adquiere la forma indeterminada 0 ∙ ∞ (ya que, si el argumento tiende a cero, el logaritmo tiende a menos infinito), entonces tenemos que escribirlo como cociente para poder luego aplicar la regla de l'Hopital, considerando la identidad tanx = 1 /cotx:
lim {e ^ {(1 /cotx) [- ln (x²)]} =
x→0
lim {e ^ {- [ln (x²)] /cotx} } =
x→0
ahora el exponente adquiere la forma indeterminada ∞, luego podemos aplicar la regla de l'Hopital, derivando tanto el numerador como el denominador del exponente:
lim {e ^ {- [ln (x²)]' /(cotx)' } } =
x→0
(aplicando la regla de la cadena)
lim {e ^ {- [(1/x²) (x²)' ] /(- csc²x)} } =
x→0
lim {e ^ {[(1/x²) (2x)] /csc²x} } =
x→0
lim {e ^ [2x (1/x²)(1 /csc²x)]} =
x→0
lim {e ^ [2x (1/x²)(1 /cscx)²]} =
x→0
(puesto que 1 /cscx = senx)
lim {e ^ [2x (1/x)²(senx)²]} =
x→0
lim {e ^ {2x [(1/x)(senx)]²} } =
x→0
lim {e ^ {2x [(senx) /x]²} } =
x→0
(recordando el límite notable lim [(senx) /x] = 1)
............... .............. .............. x→0
lim {e ^ [2(→0) (→1)²]} =
x→0
lim [e^(→0)] =
x→0
e⁰ =
1
espero haber sido de ayuda
¡Saludos!
¿"Hola"?
¿"Me ayudan"?
¿"Por favor"?
¿"Gracias"?
Faltan las palabras mágicas...