¿Lim [(tgx+tg2x)/(cosx+cos2x)] cuando x tiende a pi/3?
Update:
Podrían ayudarme por favor , con este ejercicio de limite no usar L hopital es lo que me pidio el profesor, por que si no lo pudiera hacer sin problemas, por favor ayudenme , solo con pasos de calculo para levantar la indeterminación muchas gracias de antemano
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Esta Tranca.Mentira Luego Lo hare .Ahora no tengo un lapiz a la mano
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si en caso no se ven bien las imagenes mi whatsapp +51 931 026 686 y te las mando en calidad original y no reducida
Hola
Recordemos que
pi/3 rad = 60º
2pi/3 rad = 120º
tan(60º) = √3
tan(120º) = tan(2*60º) = tan(180º - 60º) = -tan(60º) = -√3
tan(60º) + tan(120º) = 0
cos(60º) = 1/2
cos(120º) = cos(2*60º) = cos(180º - 60º) = -cos(60º) = -1/2
cos(60º) + cos(120º) = 0
Efectivamente, tenemos indeterminación 0/0
Cambiamos la variable
x = (pi/3) + u
cuando x -> pi/3 ...u -> 0
tan(x) = tan((pi/3) + u)
tan(x) = (tan(pi/3) + tan(u))/(1 - tan(pi/3) tan(u))
tan(x) = ( √3 + tan(u))/(1 - √3 tan(u))
tan(2x) = tan((2pi/3) + 2u)
tan(2x) = (tan(2pi/3) + tan(2u))/(1 - tan(2pi/3) tan(2u))
tan(2x) = ( (-√3) + tan(2u))/(1 - (-√3) tan(2u))
tan(2x) = ( -√3 + tan(2u))/(1 + √3 tan(2u))
tan(x) + tan(2x) = (( √3 + tan(u))/(1 - √3 tan(u))) +
(( -√3 + tan(2u))/(1 + √3 tan(2u)))
Suma de fracciones (a/b) + (c/d) = (ad + cb)/(bd)
tan(x) + tan(2x) = [(( √3 + tan(u))(1 + √3 tan(2u))) +
+ (( -√3 + tan(2u)(1 - √3 tan(u)) ] / [(1 - √3 tan(u)) (1 + √3 tan(2u)))]
tan(x) + tan(2x) = [ √3 + tan(u) + 3 tan(2u) +√3 tan(u) tan(2u) +
+ (-√3) + tan(2u) + 3 tan(u) - √3 tan(u) tan(2u) ] /
/ [(1 - √3 tan(u)) (1 + √3 tan(2u))]
tan(x) + tan(2x) =
4*(tan(u) + tan(2u))/ [(1 - √3 tan(u)) (1 + √3 tan(2u))]
************************************************************
El coseno es más simple...
cos(x) = cos(u + pi/3)
cos(x) = cos(u) cos(pi/3) - sen(u) sen(pi/3)
cos(x) = (1/2) cos(u) - (1/2) √3 sen(u)
cos(2x) = cos(2u + 2pi/3)
cos(2x) = cos(2u) cos(2pi/3) - sen(2u) sen(2pi/3)
cos(2x) = -(1/2) cos(2u) - (1/2) √3 sen(2u)
cos(x) + cos(2x) = -(1/2) √3 (sen(u) + sen(2u))
*************************************************
Entonces
L = lim (tan(x) + tan(2x)) / (cos(x) + cos(2x) )
......x->pi/3
L = lim { 4*(tan(u) + tan(2u))/ [(1 - √3 tan(u)) (1 + √3 tan(2u))] } /
/ {-(1/2) √3 (sen(u) + sen(2u))}
u -> 0
Ahora usamos las aproximaciones,
válidas para u cercano a 0
sen(u) ≈ u
tan(u) ≈ u
Entonces
1 + k tan(u) ≈ 1
Nos queda
L = Lim {4 ( u + (2u) )/(1*1)} / {-(1/2) √3 ( u + (2u))}
...u->0
L = Lim {4 * (3 u)} / {-(1/2) √3 (3 u)}
...u->0
L = 4/(-(1/2) √3)
L = -8/√3
L = -(8/3) √3
****************
Verificado con Graphmatica y Excel.
Saludos.