¿Quién me puede explicar detalladamente como se debe integrar esta función?
Gracias por su tiempo y ayuda!!!
Hola, nuevamente.
ʃ (-x - 4) dx / ( 12 (x^2 + 2 x + 4)) =
= (-1/12) ʃ (x + 4) dx / (x^2 + 2 x + 4)
Partimos en 2 integrales
= (-1/12) ʃ (x + 1) dx / (x^2 + 2 x + 4) +
+ (-1/12) ʃ (3) dx / (x^2 + 2 x + 4)
En la primera sustituimos
u = x^2 + 2 x + 4
du = (2 x + 2) dx = 2 (x + 1) dx
(x + 1) dx = (1/2) du
(-1/12) ʃ (x + 1) dx / (x^2 + 2 x + 4)
= (-1/12) ʃ du/u
= (-1/12) ln(u) + C1
= (-1/12) ln(x^2 + 2 x + 4) + C1
**************************************
En la segunda tenemos
x^2 + 2 x + 4 = x^2 + 2 x + 1 + 3 = (x + 1)^2 + (√3)^2
Hacemos
u = x + 1
du = dx
a = √3
y queda
(-1/12) ʃ (3) du / (u^2 + a^2)
De tablas
(-1/12) (3) (1/a) atan(u/a) + C2
(-1/12) (3) (1/√3) atan((x+1)/√3) + C2
(-1/12) (√3) atan((x+1)/√3) + C2
Sumamos las 2 integrales,
combinamos las 2 constantes de integración y queda
= (-1/12) ln(x^2 + 2 x + 4) +
+ (-1/12) (√3) atan((x+1)/√3) + C
****************************************
Copyright © 2024 1QUIZZ.COM - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Hola, nuevamente.
ʃ (-x - 4) dx / ( 12 (x^2 + 2 x + 4)) =
= (-1/12) ʃ (x + 4) dx / (x^2 + 2 x + 4)
Partimos en 2 integrales
= (-1/12) ʃ (x + 1) dx / (x^2 + 2 x + 4) +
+ (-1/12) ʃ (3) dx / (x^2 + 2 x + 4)
En la primera sustituimos
u = x^2 + 2 x + 4
du = (2 x + 2) dx = 2 (x + 1) dx
(x + 1) dx = (1/2) du
(-1/12) ʃ (x + 1) dx / (x^2 + 2 x + 4)
= (-1/12) ʃ du/u
= (-1/12) ln(u) + C1
= (-1/12) ln(x^2 + 2 x + 4) + C1
**************************************
En la segunda tenemos
x^2 + 2 x + 4 = x^2 + 2 x + 1 + 3 = (x + 1)^2 + (√3)^2
Hacemos
u = x + 1
du = dx
a = √3
y queda
(-1/12) ʃ (3) du / (u^2 + a^2)
De tablas
(-1/12) (3) (1/a) atan(u/a) + C2
(-1/12) (3) (1/√3) atan((x+1)/√3) + C2
(-1/12) (√3) atan((x+1)/√3) + C2
Sumamos las 2 integrales,
combinamos las 2 constantes de integración y queda
ʃ (-x - 4) dx / ( 12 (x^2 + 2 x + 4)) =
= (-1/12) ln(x^2 + 2 x + 4) +
+ (-1/12) (√3) atan((x+1)/√3) + C
****************************************