Hola

partimos de la ecuación vectorial

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

con parámetro t, normalmente representa tiempo

Vector tangente unitario

T = dr/ds

donde s es la longitud de la curva

a partir de cierto punto

Vector normal unitario

k N = dT/ds = d^2r/ds^2

k : curvatura

Como N es unitario

k = |d^2r/ds^2|

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Entonces, hay que llegar a una redefinición

de r con parámetro t

Se cumple

|dr| = ds

|dr/dt| = ds/dt = s'

( ' representa derivada con respecto a t)

s' =

el vector tangente unitario es igual a

T = dr/ds = (dr/dt) / (ds/dt) = r' / s'

con

|r'| = s'

Queda

T = r' / |r'|

ó

T = r' / (r' * r')^(1/2)

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<<<Ya lo ha hecho Carlos abajo>>>

Bueno yo por mi parte doy mi aporte.

sea r = r(s) la ecuación de la curva, cuyo parámetro es la longitud de arco, y análogamente r = r(t) por algún otro parámetro.

Premisa 1: la curvatura k(s) se define como k(s) = || r '' (s) ||

Empecemos por r '(s) utilizando la regla de la cadena:

r ' (s) = dr / dt * dt / ds ; recordemos que ds = |r ' (t)| dt

r ' (s) = dr / dt * 1/ |r ' (t)|

Seguimos

r '' (s) = {d/ds} [dr / dt * 1/ |r ' (t)| ] vuelta aplicamos la regla de la cadena

r '' (s) = {d/dt} [dr / dt * 1/ |r ' (t)| ] * dt/ds

r '' (s) = [ r ''(t) * 1/ |r ' (t)| + r' (t) * [- r ' (t) * r '' (t) ] / |r ' (t)|² ] * {1/|r ' (t)|}

=== como bien sabemos r ' y r'' son la tangente y la normal respectivamente, y por ende r ' * r '' = 0

r '' (s) = r ''(t) * 1/ |r ' (t)| * {1/|r ' (t)|}

r '' (s) = r ''(t) / |r ' (t)|²

entonces

| r '' (s) | = | r ''(t) | / |r ' (t)|²

K(s) = | r ''(t) | / |r ' (t)|²

Como dijimos antes, se tiene que r ' y r '' son ortogonales, y por ello

|r ´(t) x r´´ (t)| = |r ' (t)| |r '' (t)| sen 90 = |r ' (t)| |r '' (t)|

así entonces

K(s) = | r ''(t) | / |r ' (t)|²

K(s) = | r ''(t) | / |r ' (t)|² * { |r ' (t)| / |r ' (t)| }

K(s) = | r ''(t) | |r ' (t)| / |r ' (t)|³

y por ende

K(s) = |r ´(t) x r´´ (t)| / |r ' (t)|³

Notemos que K(s) = K(-s) y además que para cada t tendremos un s, o un -s, y por ello consideraremos K(s) = k(t):

k(t) = |r ´(t) x r´´ (t)| / |r ' (t)|³

la curvatura de 'r' para cierto t que coincidirá con t = t(s); K(s) = (k o t)(s)

me lleva a una pagina q no tiene nada ? :/

mira esta paguina hay esta todo lo que necesitas saver lick: http://bc.vc/TZJmIQ espero te sirva