¿Hallar "a" para que la integral impropia converja?
Dice así: Int de "0" a "1" de (x^3 +1)/(x^a +x) Hallar los "a" que hacen convergente a la integral. Gracias.
More Questions From This User See All
Dice así: Int de "0" a "1" de (x^3 +1)/(x^a +x) Hallar los "a" que hacen convergente a la integral. Gracias.
Copyright © 2024 1QUIZZ.COM - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Hola
Para
a negativo
-a es positivo
y = (x^3 + 1) /( (1/x^(-a)) + x)
Multiplicamos por x^(-a) arriba y abajo
y = x^(-a) (x^3 + 1) /( 1 + x^((-a) + 1))
Los valores extremos son
Para x = 0
y = 0 (0 + 1) /(1 + 0) = 0
Para x = 1
y = 1 (1 + 1) /(1 + 1) = 1
La función no tiene ceros para el divisor
( 1 + x^((-a) + 1))
entre x = 0 ; x = 1
Concluímos que la función es finita entre 0 y 1
por lo tanto, su integral convergerá para
a < 0
***********
Para a = 0
y = (x^3 + 1)/(1 + x) = x^2 + x + 1
Hay una singularidad evitable en x = -1
y la función es finita
por lo tanto, su integral convergerá para
a = 0
*********
Para a positivo tenemos 2 casos
0 < a < 1
x^a + x = x^a (1 + x^(1 - a))
1 <= a
x^a + x = x (x^(a - 1) + 1)
En ambos casos
la función se hace infinita para
x = 0
Investigamos la convergencia de la integral
en los 2 casos antedichos
Para 0 < a < 1
x^a + x = x^a (1 + x^(1 - a))
x^a < x^a + x < 2 x^a
para 0 < x < 1
y = (x^3 + 1)/(x^a + x)
(1/2) (x^3 + 1)/(x^a) < y < (x^3 + 1)/(x^a)
(1/2) (x^(3-a) + x^(-a)) < y < (x^(3-a) + x^(-a))
Como 0 < a < 1
2 < 3 - a < 3
-1 < -a < 0
además
3 < 3 - a + 1 < 4
0 < -a + 1 < 1
(1/2) ʃ[x_de_0_a_1] x^(3 - a) dx +
+ (1/2) ʃ[x_de_0_a_1] x^(-a) dx <
< ʃ[x_de_0_a_1] y dx <
< ʃ[x_de_0_a_1] x^(3 - a) dx +
+ ʃ[x_de_0_a_1] x^(-a) dx
(1/2) (1/(3-a+1))x^(3 - a+1) [x_de_0_a_1] +
+ (1/2) (1/(-a+1))x^(-a+1) [x_de_0_a_1]
ʃ[x_de_0_a_1] y dx <
< (1/(3-a+1))x^(3 - a+1) [x_de_0_a_1] +
+ (1/(-a+1))x^(-a+1) [x_de_0_a_1]
Las integrales limitantes convergen
por la positividad de los exponentes
así que 0 < a < 1
*************
Para 1 <= a
x^a + x = x (x^(a - 1) + 1)
x^a + x = x (x^(a - 1) + 1)
x < x^a + x < 2 x
para 0 < x < 1
y = (x^3 + 1)/(x^a + x)
y < (x^3 + 1)/(2 x)
y > (1/2) x^2 + (1/2) (1/x)
ʃ[x_de_0_a_1] y dx > (1/2) (1/3)x^3 [x_de_0_a_1] +
+ (1/2) ln(x) [x_de_0_a_1]
La segunda integral diverge para x = 0
por el término ln(x)
así que la integral diverge para
1 <= a
*************
En síntesis,
Para a < 1
la integral converge
Para 1 <= a
la integral diverge